MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredrmul 19460
Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredrmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑋𝐼)
2 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (/r𝑅) = (/r𝑅)
64, 5unitdvcl 19440 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
763com23 1123 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
873expia 1118 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
92, 3, 8syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
10 irredn0.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Irred‘𝑅)
11 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1210, 11irredcl 19457 . . . . . . . 8 (𝑋𝐼𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
13123ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
14 irredrmul.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
1511, 4, 5, 14dvrcan3 19445 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) = 𝑋)
162, 13, 3, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) = 𝑋)
1716eleq1d 2900 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
189, 17sylibd 242 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
192ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑅 ∈ Ring)
20 eldifi 4089 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
223ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑌𝑈)
2311, 4, 5dvrcl 19439 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
25 eldifn 4090 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → ¬ 𝑦𝑈)
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ 𝑦𝑈)
274, 14unitmulcl 19417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
28273com23 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈 ∧ (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
29283expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
3019, 22, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
3111, 4, 5, 14dvrcan1 19444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
3219, 21, 22, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
3332eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (((𝑦(/r𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈𝑦𝑈))
3430, 33sylibd 242 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈𝑦𝑈))
3526, 34mtod 201 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
3624, 35eldifd 3930 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈))
37 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
3837oveq1d 7164 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r𝑅)𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌))
39 eldifi 4089 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4111, 4, 5, 14dvrass 19443 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈)) → ((𝑥 · 𝑦)(/r𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)))
4219, 40, 21, 22, 41syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)))
4316ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑋 · 𝑌)(/r𝑅)𝑌) = 𝑋)
4438, 42, 433eqtr3d 2867 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)) = 𝑋)
45 oveq2 7157 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦(/r𝑅)𝑌) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)))
4645eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦(/r𝑅)𝑌) → ((𝑥 · 𝑧) = 𝑋 ↔ (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)) = 𝑋))
4746rspcev 3609 . . . . . . 7 (((𝑦(/r𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · (𝑦(/r𝑅)𝑌)) = 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
4836, 44, 47syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
4948rexlimdvaa 3277 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
5049reximdva 3266 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
5118, 50orim12d 962 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌)) → (𝑋𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
5211, 4unitcl 19412 . . . . . 6 (𝑌𝑈𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
53523ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
5411, 14ringcl 19314 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
552, 13, 53, 54syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
56 eqid 2824 . . . . 5 ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) = ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)
5711, 4, 10, 56, 14isnirred 19453 . . . 4 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
5855, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
5911, 4, 10, 56, 14isnirred 19453 . . . 4 (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 𝑋𝐼 ↔ (𝑋𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
6013, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (¬ 𝑋𝐼 ↔ (𝑋𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
6151, 58, 603imtr4d 297 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 → ¬ 𝑋𝐼))
621, 61mt4d 117 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  cdif 3916  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  Ringcrg 19297  Unitcui 19392  Irredcir 19393  /rcdvr 19435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-irred 19396  df-invr 19425  df-dvr 19436
This theorem is referenced by:  irredlmul  19461  irredneg  19463
  Copyright terms: Public domain W3C validator