MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredrmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem irredrmul 20370
Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
irredrmul.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
irredrmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
irredrmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
2 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
5 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
64, 5unitdvcl 20348 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
763com23 1123 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
873expia 1118 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
92, 3, 8syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
10 irredn0.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
11 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1210, 11irredcl 20367 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐼 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13123ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14 irredrmul.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘…)
1511, 4, 5, 14dvrcan3 20353 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
162, 13, 3, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
1716eleq1d 2810 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
189, 17sylibd 238 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
192ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 eldifi 4119 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2120ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
223ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
2311, 4, 5dvrcl 20347 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 eldifn 4120 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
2625ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
274, 14unitmulcl 20323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
28273com23 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
29283expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
3019, 22, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
3111, 4, 5, 14dvrcan1 20352 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑦)
3219, 21, 22, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑦)
3332eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3430, 33sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3526, 34mtod 197 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ Β¬ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
3624, 35eldifd 3950 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ))
37 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))
3837oveq1d 7431 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ))
39 eldifi 4119 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4039ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4111, 4, 5, 14dvrass 20351 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4219, 40, 21, 22, 41syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4316ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
4438, 42, 433eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋)
45 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4645eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋 ↔ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋))
4746rspcev 3601 . . . . . . 7 (((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)
4836, 44, 47syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)
4948rexlimdvaa 3146 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋))
5049reximdva 3158 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋))
5118, 50orim12d 962 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
5211, 4unitcl 20318 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
53523ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5411, 14ringcl 20194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
552, 13, 53, 54syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
56 eqid 2725 . . . . 5 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)
5711, 4, 10, 56, 14isnirred 20363 . . . 4 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))))
5855, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))))
5911, 4, 10, 56, 14isnirred 20363 . . . 4 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
6013, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
6151, 58, 603imtr4d 293 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼))
621, 61mt4d 117 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Ringcrg 20177  Unitcui 20298  Irredcir 20299  /rcdvr 20343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-irred 20302  df-invr 20331  df-dvr 20344
This theorem is referenced by:  irredlmul  20371  irredneg  20373
  Copyright terms: Public domain W3C validator