MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredrmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem irredrmul 20329
Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
irredrmul.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
irredrmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
irredrmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
2 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
64, 5unitdvcl 20307 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
763com23 1123 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
873expia 1118 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
92, 3, 8syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
10 irredn0.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
11 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1210, 11irredcl 20326 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐼 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13123ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14 irredrmul.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘…)
1511, 4, 5, 14dvrcan3 20312 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
162, 13, 3, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
1716eleq1d 2812 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
189, 17sylibd 238 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
192ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 eldifi 4121 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2120ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
223ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
2311, 4, 5dvrcl 20306 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 eldifn 4122 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
2625ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
274, 14unitmulcl 20282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
28273com23 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
29283expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
3019, 22, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
3111, 4, 5, 14dvrcan1 20311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑦)
3219, 21, 22, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑦)
3332eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3430, 33sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3526, 34mtod 197 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ Β¬ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
3624, 35eldifd 3954 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ))
37 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))
3837oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ))
39 eldifi 4121 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4039ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4111, 4, 5, 14dvrass 20310 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4219, 40, 21, 22, 41syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4316ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
4438, 42, 433eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋)
45 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4645eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋 ↔ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋))
4746rspcev 3606 . . . . . . 7 (((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)
4836, 44, 47syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)
4948rexlimdvaa 3150 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋))
5049reximdva 3162 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋))
5118, 50orim12d 961 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
5211, 4unitcl 20277 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
53523ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5411, 14ringcl 20155 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
552, 13, 53, 54syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
56 eqid 2726 . . . . 5 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)
5711, 4, 10, 56, 14isnirred 20322 . . . 4 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))))
5855, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))))
5911, 4, 10, 56, 14isnirred 20322 . . . 4 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
6013, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
6151, 58, 603imtr4d 294 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼))
621, 61mt4d 117 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  Irredcir 20258  /rcdvr 20302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-irred 20261  df-invr 20290  df-dvr 20303
This theorem is referenced by:  irredlmul  20330  irredneg  20332
  Copyright terms: Public domain W3C validator