Theorem irredrmul 20336

Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredrmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredrmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
2		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
4		irredrmul.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
6	4, 5	unitdvcl 20314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
7	6	3com23 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
8	7	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
9	2, 3, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
10		irredn0.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	10, 11	irredcl 20333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
14		irredrmul.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	11, 4, 5, 14	dvrcan3 20319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
16	2, 13, 3, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
17	16	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	9, 17	sylibd 239	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
19	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑅 ∈ Ring)
20		eldifi 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21	20	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23	11, 4, 5	dvrcl 20313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
25		eldifn 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
26	25	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
27	4, 14	unitmulcl 20289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
28	27	3com23 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
29	28	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
30	19, 22, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
31	11, 4, 5, 14	dvrcan1 20318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
32	19, 21, 22, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
33	32	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
34	30, 33	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	26, 34	mtod 198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
36	24, 35	eldifd 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈))
37		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
38	37	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌))
39		eldifi 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
40	39	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
41	11, 4, 5, 14	dvrass 20317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
42	19, 40, 21, 22, 41	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
43	16	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
44	38, 42, 43	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
45		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
46	45	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) → ((𝑥 · 𝑧) = 𝑋 ↔ (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋))
47	46	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
48	36, 44, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
49	48	rexlimdvaa 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
50	49	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
51	18, 50	orim12d 966	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
52	11, 4	unitcl 20284	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
53	52	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
54	11, 14	ringcl 20159	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 13, 53, 54	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
56		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) = ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)
57	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 20329	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
58	55, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
59	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 20329	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
60	13, 59	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
61	51, 58, 60	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐼))
62	1, 61	mt4d 117	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Ringcrg 20142  Unitcui 20264  Irredcir 20265  /_rcdvr 20309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-irred 20268  df-invr 20297  df-dvr 20310

This theorem is referenced by:  irredlmul  20337  irredneg  20339