Theorem irredrmul 19170

Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredrmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredrmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1117	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
2		simp1 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp3 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
4		irredrmul.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
6	4, 5	unitdvcl 19150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
7	6	3com23 1106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
8	7	3expia 1101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
9	2, 3, 8	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
10		irredn0.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
11		eqid 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	10, 11	irredcl 19167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
13	12	3ad2ant2 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
14		irredrmul.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	11, 4, 5, 14	dvrcan3 19155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
16	2, 13, 3, 15	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
17	16	eleq1d 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	9, 17	sylibd 231	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
19	2	ad2antrr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑅 ∈ Ring)
20		eldifi 3989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21	20	ad2antrl 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22	3	ad2antrr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23	11, 4, 5	dvrcl 19149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1351	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
25		eldifn 3990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
26	25	ad2antrl 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
27	4, 14	unitmulcl 19127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
28	27	3com23 1106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
29	28	3expia 1101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
30	19, 22, 29	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
31	11, 4, 5, 14	dvrcan1 19154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
32	19, 21, 22, 31	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
33	32	eleq1d 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
34	30, 33	sylibd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	26, 34	mtod 190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
36	24, 35	eldifd 3836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈))
37		simprr 760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
38	37	oveq1d 6985	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌))
39		eldifi 3989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
40	39	ad2antlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
41	11, 4, 5, 14	dvrass 19153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
42	19, 40, 21, 22, 41	syl13anc 1352	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
43	16	ad2antrr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
44	38, 42, 43	3eqtr3d 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
45		oveq2 6978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
46	45	eqeq1d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) → ((𝑥 · 𝑧) = 𝑋 ↔ (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋))
47	46	rspcev 3529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
48	36, 44, 47	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
49	48	rexlimdvaa 3224	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
50	49	reximdva 3213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
51	18, 50	orim12d 947	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
52	11, 4	unitcl 19122	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
53	52	3ad2ant3 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
54	11, 14	ringcl 19024	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 13, 53, 54	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
56		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) = ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)
57	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 19163	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
58	55, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
59	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 19163	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
60	13, 59	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
61	51, 58, 60	3imtr4d 286	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐼))
62	1, 61	mt4d 154	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∃wrex 3083   ∖ cdif 3822  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  ._rcmulr 16412  Ringcrg 19010  Unitcui 19102  Irredcir 19103  /_rcdvr 19145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-irred 19106  df-invr 19135  df-dvr 19146

This theorem is referenced by:  irredlmul  19171  irredneg  19173