MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredrmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem irredrmul 20233
Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
irredrmul.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
irredrmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
irredrmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
2 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
64, 5unitdvcl 20211 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
763com23 1126 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
873expia 1121 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
92, 3, 8syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
10 irredn0.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
11 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1210, 11irredcl 20230 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐼 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13123ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14 irredrmul.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘…)
1511, 4, 5, 14dvrcan3 20216 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
162, 13, 3, 15syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
1716eleq1d 2818 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
189, 17sylibd 238 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
192ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 eldifi 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2120ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
223ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
2311, 4, 5dvrcl 20210 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 eldifn 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
2625ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
274, 14unitmulcl 20186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
28273com23 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
29283expia 1121 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
3019, 22, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
3111, 4, 5, 14dvrcan1 20215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑦)
3219, 21, 22, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑦)
3332eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3430, 33sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3526, 34mtod 197 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ Β¬ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
3624, 35eldifd 3958 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ))
37 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))
3837oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ))
39 eldifi 4125 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4039ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4111, 4, 5, 14dvrass 20214 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4219, 40, 21, 22, 41syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4316ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) = 𝑋)
4438, 42, 433eqtr3d 2780 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋)
45 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
4645eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋 ↔ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋))
4746rspcev 3612 . . . . . . 7 (((𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· (𝑦(/rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)
4836, 44, 47syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)
4948rexlimdvaa 3156 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋))
5049reximdva 3168 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋))
5118, 50orim12d 963 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
5211, 4unitcl 20181 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
53523ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5411, 14ringcl 20066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
552, 13, 53, 54syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
56 eqid 2732 . . . . 5 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)
5711, 4, 10, 56, 14isnirred 20226 . . . 4 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))))
5855, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘Œ))))
5911, 4, 10, 56, 14isnirred 20226 . . . 4 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
6013, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– π‘ˆ)(π‘₯ Β· 𝑧) = 𝑋)))
6151, 58, 603imtr4d 293 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐼))
621, 61mt4d 117 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  Irredcir 20162  /rcdvr 20206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-irred 20165  df-invr 20194  df-dvr 20207
This theorem is referenced by:  irredlmul  20234  irredneg  20236
  Copyright terms: Public domain W3C validator