Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomodle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem idomodle 41938
Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomodle.g 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
idomodle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
idomodle.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
idomodle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁}) ≀ 𝑁)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯)   𝑂(π‘₯)
Proof of Theorem idomodle
StepHypRef Expression
1 idomodle.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
21fvexi 6906 . . . 4 𝐡 ∈ V
32rabex 5333 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁} ∈ V
4 hashxrcl 14317 . . 3 ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁} ∈ V β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁}) ∈ ℝ*)
53, 4mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁}) ∈ ℝ*)
6 fvex 6905 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
76rabex 5333 . . 3 {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} ∈ V
8 hashxrcl 14317 . . 3 ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}) ∈ ℝ*)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}) ∈ ℝ*)
10 nnre 12219 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1110rexrd 11264 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
1211adantl 483 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
13 isidom 20922 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1413simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1514adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
16 crngring 20068 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
20 idomodle.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
2119, 20unitgrp 20197 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2218, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
23 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
24 nnz 12579 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2524ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
26 idomodle.o . . . . . . . 8 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
27 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜πΊ)
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
291, 26, 27, 28oddvds 19415 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ)))
3022, 23, 25, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ)))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
3219, 31unitsubm 20200 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘…) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
3318, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Unitβ€˜π‘…) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
34 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3534ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3619, 20unitgrpbas 20196 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜πΊ)
371, 36eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Unitβ€˜π‘…)
3823, 37eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
39 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
4039, 20, 27submmulg 18998 . . . . . . . 8 (((Unitβ€˜π‘…) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (𝑁(.gβ€˜πΊ)π‘₯))
4133, 35, 38, 40syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (𝑁(.gβ€˜πΊ)π‘₯))
42 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4319, 20, 42unitgrpid 20199 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜πΊ))
4418, 43syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜πΊ))
4541, 44eqeq12d 2749 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑁(.gβ€˜πΊ)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ)))
4630, 45bitr4d 282 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
4746rabbidva 3440 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁} = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)})
4847fveq2d 6896 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}))
49 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
5049, 37unitss 20190 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
51 rabss2 4076 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} βŠ† {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)})
5250, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} βŠ† {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)})
53 ssdomg 8996 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} ∈ V β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} βŠ† {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} β‰Ό {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}))
547, 52, 53mpsyl 68 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} β‰Ό {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)})
55 hashdomi 14340 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} β‰Ό {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)} β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}))
5654, 55syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}))
5748, 56eqbrtrd 5171 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁}) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}))
58 simpl 484 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
5949, 42ringidcl 20083 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6017, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
61 simpr 486 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6249, 39idomrootle 41937 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}) ≀ 𝑁)
6358, 60, 61, 62syl3anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∣ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)}) ≀ 𝑁)
645, 9, 12, 57, 63xrletrd 13141 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ 𝑁}) ≀ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β‰Ό cdom 8937  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β™―chash 14290   βˆ₯ cdvds 16197  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  0gc0g 17385  SubMndcsubmnd 18670  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  odcod 19392  mulGrpcmgp 19987  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  Unitcui 20169  Domncdomn 20896  IDomncidom 20897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-evls 21635  df-evl 21636  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-evl1 21835  df-mdeg 25570  df-deg1 25571  df-mon1 25648  df-uc1p 25649  df-q1p 25650  df-r1p 25651
This theorem is referenced by:  idomsubgmo  41940
  Copyright terms: Public domain W3C validator