Theorem idomodle 39803

Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomodle.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
idomodle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
idomodle.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idomodle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem idomodle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomodle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	fvexi 6686	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rabex 5237	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V
4		hashxrcl 13721	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
6		fvex 6685	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
7	6	rabex 5237	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V
8		hashxrcl 13721	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
10		nnre 11647	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
12	11	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
13		isidom 20079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
14	13	simplbi 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
16		crngring 19310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
18	17	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20		idomodle.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
21	19, 20	unitgrp 19419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		nnz 12007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		idomodle.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
27		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
28		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
29	1, 26, 27, 28	oddvds 18677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
30	22, 23, 25, 29	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
31		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32	19, 31	unitsubm 19422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
33	18, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
34		nnnn0 11907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	19, 20	unitgrpbas 19418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Base‘𝐺)
37	1, 36	eqtr4i 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Unit‘𝑅)
38	23, 37	eleqtrdi 2925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
39		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
40	39, 20, 27	submmulg 18273	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
41	33, 35, 38, 40	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
42		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
43	19, 20, 42	unitgrpid 19421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
44	18, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
45	41, 44	eqeq12d 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
46	30, 45	bitr4d 284	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
47	46	rabbidva 3480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
48	47	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
49		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50	49, 37	unitss 19412	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
51		rabss2 4056	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
52	50, 51	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
53		ssdomg 8557	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
54	7, 52, 53	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
55		hashdomi 13744	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
56	54, 55	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
57	48, 56	eqbrtrd 5090	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
58		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
59	49, 42	ringidcl 19320	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
60	17, 59	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
61		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
62	49, 39	idomrootle 39802	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
63	58, 60, 61, 62	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
64	5, 9, 12, 57, 63	xrletrd 12558	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ≼ cdom 8509  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ♯chash 13693   ∥ cdvds 15609  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  0_gc0g 16715  SubMndcsubmnd 17957  Grpcgrp 18105  ._gcmg 18226  odcod 18654  mulGrpcmgp 19241  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  CRingccrg 19300  Unitcui 19391  Domncdomn 20055  IDomncidom 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-od 18658  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-srg 19258  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-rnghom 19469  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-nzr 20033  df-rlreg 20058  df-domn 20059  df-idom 20060  df-assa 20087  df-asp 20088  df-ascl 20089  df-psr 20138  df-mvr 20139  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-evls 20288  df-evl 20289  df-psr1 20350  df-vr1 20351  df-ply1 20352  df-coe1 20353  df-evl1 20481  df-cnfld 20548  df-mdeg 24651  df-deg1 24652  df-mon1 24726  df-uc1p 24727  df-q1p 24728  df-r1p 24729

This theorem is referenced by:  idomsubgmo  39805