Theorem idomodle 40724

Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomodle.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
idomodle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
idomodle.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idomodle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem idomodle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomodle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	fvexi 6731	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rabex 5225	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V
4		hashxrcl 13924	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
6		fvex 6730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
7	6	rabex 5225	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V
8		hashxrcl 13924	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
10		nnre 11837	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10883	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
12	11	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
13		isidom 20342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
14	13	simplbi 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
16		crngring 19574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
18	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20		idomodle.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
21	19, 20	unitgrp 19685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		nnz 12199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		idomodle.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
28		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
29	1, 26, 27, 28	oddvds 18939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
30	22, 23, 25, 29	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32	19, 31	unitsubm 19688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
33	18, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
34		nnnn0 12097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	19, 20	unitgrpbas 19684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Base‘𝐺)
37	1, 36	eqtr4i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Unit‘𝑅)
38	23, 37	eleqtrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
40	39, 20, 27	submmulg 18535	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
41	33, 35, 38, 40	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
42		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
43	19, 20, 42	unitgrpid 19687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
44	18, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
45	41, 44	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
46	30, 45	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
47	46	rabbidva 3388	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
48	47	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
49		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50	49, 37	unitss 19678	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
51		rabss2 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
52	50, 51	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
53		ssdomg 8674	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
54	7, 52, 53	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
55		hashdomi 13947	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
56	54, 55	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
57	48, 56	eqbrtrd 5075	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
58		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
59	49, 42	ringidcl 19586	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
60	17, 59	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
61		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
62	49, 39	idomrootle 40723	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
63	58, 60, 61, 62	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
64	5, 9, 12, 57, 63	xrletrd 12752	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ≼ cdom 8624  ℝ^*cxr 10866   ≤ cle 10868  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ♯chash 13896   ∥ cdvds 15815  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  0_gc0g 16944  SubMndcsubmnd 18217  Grpcgrp 18365  ._gcmg 18488  odcod 18916  mulGrpcmgp 19504  1_rcur 19516  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563  Unitcui 19657  Domncdomn 20318  IDomncidom 20319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-prds 16952  df-pws 16954  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-od 18920  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-srg 19521  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-rnghom 19735  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-nzr 20296  df-rlreg 20321  df-domn 20322  df-idom 20323  df-cnfld 20364  df-assa 20815  df-asp 20816  df-ascl 20817  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-evls 21032  df-evl 21033  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103  df-coe1 21104  df-evl1 21232  df-mdeg 24950  df-deg1 24951  df-mon1 25028  df-uc1p 25029  df-q1p 25030  df-r1p 25031

This theorem is referenced by:  idomsubgmo  40726