Theorem idomodle 43978

Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomodle.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
idomodle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
idomodle.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idomodle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem idomodle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomodle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rabex 5311	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V
4		hashxrcl 14413	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
5	3, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
6		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
7	6	rabex 5311	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V
8		hashxrcl 14413	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
9	7, 8	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
10		nnre 12257	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
12	11	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
13		isidom 20875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
14	13	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
16		crngring 20373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
18	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20		idomodle.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
21	19, 20	unitgrp 20513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
22	18, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		nnz 12629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		idomodle.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
27		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
28		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
29	1, 26, 27, 28	oddvds 19663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
30	22, 23, 25, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
31		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32	19, 31	unitsubm 20516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
33	18, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
34		nnnn0 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	19, 20	unitgrpbas 20512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Base‘𝐺)
37	1, 36	eqtr4i 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Unit‘𝑅)
38	23, 37	eleqtrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
39		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
40	39, 20, 27	submmulg 19230	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
41	33, 35, 38, 40	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
42		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
43	19, 20, 42	unitgrpid 20515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
44	18, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
45	41, 44	eqeq12d 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
46	30, 45	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
47	46	rabbidva 3424	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
48	47	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
49		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
50	49, 37	unitss 20506	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
51		rabss2 4032	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
52	50, 51	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
53		ssdomg 9003	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
54	7, 52, 53	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
55		hashdomi 14436	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
56	54, 55	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
57	48, 56	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
58		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
59	49, 42	ringidcl 20395	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
60	17, 59	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
61		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
62	49, 39	idomrootle 26383	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
63	58, 60, 61, 62	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
64	5, 9, 12, 57, 63	xrletrd 13205	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ≼ cdom 8947  ℝ^*cxr 11259   ≤ cle 11261  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ♯chash 14386   ∥ cdvds 16334  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  0_gc0g 17516  SubMndcsubmnd 18879  Grpcgrp 19046  ._gcmg 19179  odcod 19640  mulGrpcmgp 20262  1_rcur 20309  Ringcrg 20361  CRingccrg 20362  Unitcui 20485  Domncdomn 20843  IDomncidom 20844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-od 19644  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-srg 20315  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-rhm 20602  df-nzr 20662  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-rlreg 20845  df-domn 20846  df-idom 20847  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-cnfld 21575  df-assa 22055  df-asp 22056  df-ascl 22057  df-psr 22111  df-mvr 22112  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-evls 22277  df-evl 22278  df-psr1 22392  df-vr1 22393  df-ply1 22394  df-coe1 22395  df-evl1 22528  df-mdeg 26265  df-deg1 26266  df-mon1 26341  df-uc1p 26342  df-q1p 26343  df-r1p 26344

This theorem is used by:  idomsubgmo  43980