Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomodle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomodle 40155
 Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomodle.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
idomodle.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
idomodle.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
idomodle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem idomodle
StepHypRef Expression
1 idomodle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
21fvexi 6659 . . . 4 𝐵 ∈ V
32rabex 5199 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V
4 hashxrcl 13716 . . 3 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
53, 4mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
6 fvex 6658 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
76rabex 5199 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ∈ V
8 hashxrcl 13716 . . 3 ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ∈ ℝ*)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ∈ ℝ*)
10 nnre 11634 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110rexrd 10682 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
1211adantl 485 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
13 isidom 20073 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1413simplbi 501 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
1514adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
16 crngring 19305 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
1817adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20 idomodle.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
2119, 20unitgrp 19416 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
2218, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
23 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
24 nnz 11994 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2524ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 idomodle.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
27 eqid 2798 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
28 eqid 2798 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
291, 26, 27, 28oddvds 18670 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3022, 23, 25, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
31 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3219, 31unitsubm 19419 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
3318, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
34 nnnn0 11894 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3534ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3619, 20unitgrpbas 19415 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Base‘𝐺)
371, 36eqtr4i 2824 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Unit‘𝑅)
3823, 37eleqtrdi 2900 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
39 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
4039, 20, 27submmulg 18266 . . . . . . . 8 (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g𝐺)𝑥))
4133, 35, 38, 40syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g𝐺)𝑥))
42 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4319, 20, 42unitgrpid 19418 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) = (0g𝐺))
4418, 43syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (1r𝑅) = (0g𝐺))
4541, 44eqeq12d 2814 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅) ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
4630, 45bitr4d 285 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))
4746rabbidva 3425 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
4847fveq2d 6649 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
49 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5049, 37unitss 19409 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
51 rabss2 4005 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
5250, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
53 ssdomg 8540 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ∈ V → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
547, 52, 53mpsyl 68 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
55 hashdomi 13739 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
5654, 55syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
5748, 56eqbrtrd 5052 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
58 simpl 486 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
5949, 42ringidcl 19317 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6017, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
61 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6249, 39idomrootle 40154 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ 𝑁)
6358, 60, 61, 62syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ 𝑁)
645, 9, 12, 57, 63xrletrd 12545 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ≼ cdom 8492  ℝ*cxr 10665   ≤ cle 10667  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11887  ℤcz 11971  ♯chash 13688   ∥ cdvds 15601  Basecbs 16477   ↾s cress 16478  0gc0g 16707  SubMndcsubmnd 17949  Grpcgrp 18097  .gcmg 18219  odcod 18647  mulGrpcmgp 19235  1rcur 19247  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  Unitcui 19388  Domncdomn 20049  IDomncidom 20050 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-ofr 7391  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-xnn0 11958  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-od 18651  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-srg 19252  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-nzr 20027  df-rlreg 20052  df-domn 20053  df-idom 20054  df-cnfld 20095  df-assa 20546  df-asp 20547  df-ascl 20548  df-psr 20598  df-mvr 20599  df-mpl 20600  df-opsr 20602  df-evls 20749  df-evl 20750  df-psr1 20816  df-vr1 20817  df-ply1 20818  df-coe1 20819  df-evl1 20947  df-mdeg 24663  df-deg1 24664  df-mon1 24738  df-uc1p 24739  df-q1p 24740  df-r1p 24741 This theorem is referenced by:  idomsubgmo  40157
 Copyright terms: Public domain W3C validator