Theorem invrpropd 20334

Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
invrpropd	⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
3	1, 2	unitgrpbas 20298	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5		rngidpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		rngidpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		rngidpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	5, 6, 7	unitpropd 20333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
11	9, 10	unitgrpbas 20298	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
12	8, 11	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 1	unitss 20292	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
15	14, 5	sseqtrrid 3993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
16	15	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	15	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18	16, 17	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	18, 7	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐾) ∈ V
21		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
23	21, 22	mgpplusg 20060	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
24	2, 23	ressplusg 17261	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
25	20, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
26	25	oveqi 7403	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐿) ∈ V
28		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
30	28, 29	mgpplusg 20060	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
31	10, 30	ressplusg 17261	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
33	32	oveqi 7403	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
34	19, 26, 33	3eqtr3g 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
35	4, 12, 34	grpinvpropd 18954	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36		eqid 2730	. . 3 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
37	1, 2, 36	invrfval 20305	. 2 ⊢ (invr‘𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38		eqid 2730	. . 3 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
39	9, 10, 38	invrfval 20305	. 2 ⊢ (invr‘𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
40	35, 37, 39	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  inv_gcminusg 18873  mulGrpcmgp 20056  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-minusg 18876  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304

This theorem is referenced by: (None)