MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrpropd 20435
Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
invrpropd (𝜑 → (invr𝐾) = (invr𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . 5 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2 eqid 2735 . . . . 5 ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
31, 2unitgrpbas 20399 . . . 4 (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5 rngidpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
6 rngidpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
7 rngidpropd.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
85, 6, 7unitpropd 20434 . . . 4 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9 eqid 2735 . . . . 5 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10 eqid 2735 . . . . 5 ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
119, 10unitgrpbas 20399 . . . 4 (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
128, 11eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 1unitss 20393 . . . . . . . 8 (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
1514, 5sseqtrrid 4049 . . . . . . 7 (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
1615sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥𝐵)
1715sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦𝐵)
1816, 17anim12dan 619 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1918, 7syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
20 fvex 6920 . . . . . 6 (Unit‘𝐾) ∈ V
21 eqid 2735 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝐾) = (.r𝐾)
2321, 22mgpplusg 20156 . . . . . . 7 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
242, 23ressplusg 17336 . . . . . 6 ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
2520, 24ax-mp 5 . . . . 5 (.r𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
2625oveqi 7444 . . . 4 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27 fvex 6920 . . . . . 6 (Unit‘𝐿) ∈ V
28 eqid 2735 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3028, 29mgpplusg 20156 . . . . . . 7 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3110, 30ressplusg 17336 . . . . . 6 ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
3227, 31ax-mp 5 . . . . 5 (.r𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
3332oveqi 7444 . . . 4 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
3419, 26, 333eqtr3g 2798 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
354, 12, 34grpinvpropd 19046 . 2 (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36 eqid 2735 . . 3 (invr𝐾) = (invr𝐾)
371, 2, 36invrfval 20406 . 2 (invr𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38 eqid 2735 . . 3 (invr𝐿) = (invr𝐿)
399, 10, 38invrfval 20406 . 2 (invr𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
4035, 37, 393eqtr4g 2800 1 (𝜑 → (invr𝐾) = (invr𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  invgcminusg 18965  mulGrpcmgp 20152  Unitcui 20372  invrcinvr 20404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-minusg 18968  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator