Theorem invrpropd 20303

Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
invrpropd	⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
3	1, 2	unitgrpbas 20267	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5		rngidpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		rngidpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		rngidpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	5, 6, 7	unitpropd 20302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
11	9, 10	unitgrpbas 20267	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
12	8, 11	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 1	unitss 20261	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
15	14, 5	sseqtrrid 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
16	15	sselda 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	15	sselda 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18	16, 17	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	18, 7	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐾) ∈ V
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
23	21, 22	mgpplusg 20029	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
24	2, 23	ressplusg 17230	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
25	20, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
26	25	oveqi 7382	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐿) ∈ V
28		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
30	28, 29	mgpplusg 20029	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
31	10, 30	ressplusg 17230	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
33	32	oveqi 7382	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
34	19, 26, 33	3eqtr3g 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
35	4, 12, 34	grpinvpropd 18923	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36		eqid 2729	. . 3 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
37	1, 2, 36	invrfval 20274	. 2 ⊢ (invr‘𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38		eqid 2729	. . 3 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
39	9, 10, 38	invrfval 20274	. 2 ⊢ (invr‘𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
40	35, 37, 39	3eqtr4g 2789	1 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  inv_gcminusg 18842  mulGrpcmgp 20025  Unitcui 20240  inv_rcinvr 20272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-minusg 18845  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273

This theorem is referenced by: (None)