Theorem invrpropd 20320

Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
invrpropd	⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
3	1, 2	unitgrpbas 20284	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5		rngidpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		rngidpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		rngidpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	5, 6, 7	unitpropd 20319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
11	9, 10	unitgrpbas 20284	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
12	8, 11	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 1	unitss 20278	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
15	14, 5	sseqtrrid 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
16	15	sselda 3977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	15	sselda 3977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18	16, 17	anim12dan 618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	18, 7	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐾) ∈ V
21		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
23	21, 22	mgpplusg 20043	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
24	2, 23	ressplusg 17244	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
25	20, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
26	25	oveqi 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐿) ∈ V
28		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
30	28, 29	mgpplusg 20043	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
31	10, 30	ressplusg 17244	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
33	32	oveqi 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
34	19, 26, 33	3eqtr3g 2789	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
35	4, 12, 34	grpinvpropd 18943	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36		eqid 2726	. . 3 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
37	1, 2, 36	invrfval 20291	. 2 ⊢ (invr‘𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38		eqid 2726	. . 3 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
39	9, 10, 38	invrfval 20291	. 2 ⊢ (invr‘𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
40	35, 37, 39	3eqtr4g 2791	1 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  inv_gcminusg 18864  mulGrpcmgp 20039  Unitcui 20257  inv_rcinvr 20289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-minusg 18867  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290

This theorem is referenced by: (None)