Theorem invrpropd 20467

Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
invrpropd	⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
3	1, 2	unitgrpbas 20431	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5		rngidpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		rngidpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		rngidpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	5, 6, 7	unitpropd 20466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
11	9, 10	unitgrpbas 20431	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
12	8, 11	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 1	unitss 20425	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
15	14, 5	sseqtrrid 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
16	15	sselda 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	15	sselda 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18	16, 17	anim12dan 628	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	18, 7	syldan 600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐾) ∈ V
21		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
23	21, 22	mgpplusg 20190	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
24	2, 23	ressplusg 17320	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
25	20, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
26	25	oveqi 7409	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐿) ∈ V
28		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
30	28, 29	mgpplusg 20190	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
31	10, 30	ressplusg 17320	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
33	32	oveqi 7409	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
34	19, 26, 33	3eqtr3g 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
35	4, 12, 34	grpinvpropd 19057	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36		eqid 2762	. . 3 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
37	1, 2, 36	invrfval 20438	. 2 ⊢ (invr‘𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38		eqid 2762	. . 3 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
39	9, 10, 38	invrfval 20438	. 2 ⊢ (invr‘𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
40	35, 37, 39	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  +_gcplusg 17286  ._rcmulr 17287  inv_gcminusg 18976  mulGrpcmgp 20186  Unitcui 20404  inv_rcinvr 20436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-minusg 18979  df-mgp 20187  df-ur 20232  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437

This theorem is referenced by: (None)