Theorem invrpropd 20562

Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
invrpropd	⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
3	1, 2	unitgrpbas 20526	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5		rngidpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		rngidpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		rngidpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	5, 6, 7	unitpropd 20561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
11	9, 10	unitgrpbas 20526	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
12	8, 11	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 1	unitss 20520	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
15	14, 5	sseqtrrid 3974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
16	15	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	15	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18	16, 17	anim12dan 631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	18, 7	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		fvex 6892	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐾) ∈ V
21		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
23	21, 22	mgpplusg 20280	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
24	2, 23	ressplusg 17379	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
25	20, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
26	25	oveqi 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27		fvex 6892	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝐿) ∈ V
28		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
30	28, 29	mgpplusg 20280	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
31	10, 30	ressplusg 17379	. . . . . 6 ⊢ ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
33	32	oveqi 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
34	19, 26, 33	3eqtr3g 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
35	4, 12, 34	grpinvpropd 19141	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
37	1, 2, 36	invrfval 20533	. 2 ⊢ (invr‘𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
39	9, 10, 38	invrfval 20533	. 2 ⊢ (invr‘𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
40	35, 37, 39	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝐾) = (invr‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  inv_gcminusg 19061  mulGrpcmgp 20276  Unitcui 20499  inv_rcinvr 20531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-0g 17529  df-minusg 19064  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532

This theorem is used by: (None)