MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrpropd 20361
Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
invrpropd (𝜑 → (invr𝐾) = (invr𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2 eqid 2725 . . . . 5 ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
31, 2unitgrpbas 20325 . . . 4 (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5 rngidpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
6 rngidpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
7 rngidpropd.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
85, 6, 7unitpropd 20360 . . . 4 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9 eqid 2725 . . . . 5 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10 eqid 2725 . . . . 5 ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
119, 10unitgrpbas 20325 . . . 4 (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
128, 11eqtrdi 2781 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 1unitss 20319 . . . . . . . 8 (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
1514, 5sseqtrrid 4026 . . . . . . 7 (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
1615sselda 3972 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥𝐵)
1715sselda 3972 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦𝐵)
1816, 17anim12dan 617 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1918, 7syldan 589 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
20 fvex 6905 . . . . . 6 (Unit‘𝐾) ∈ V
21 eqid 2725 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.r𝐾) = (.r𝐾)
2321, 22mgpplusg 20082 . . . . . . 7 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
242, 23ressplusg 17270 . . . . . 6 ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
2520, 24ax-mp 5 . . . . 5 (.r𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
2625oveqi 7429 . . . 4 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27 fvex 6905 . . . . . 6 (Unit‘𝐿) ∈ V
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3028, 29mgpplusg 20082 . . . . . . 7 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3110, 30ressplusg 17270 . . . . . 6 ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
3227, 31ax-mp 5 . . . . 5 (.r𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
3332oveqi 7429 . . . 4 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
3419, 26, 333eqtr3g 2788 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
354, 12, 34grpinvpropd 18975 . 2 (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36 eqid 2725 . . 3 (invr𝐾) = (invr𝐾)
371, 2, 36invrfval 20332 . 2 (invr𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38 eqid 2725 . . 3 (invr𝐿) = (invr𝐿)
399, 10, 38invrfval 20332 . 2 (invr𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
4035, 37, 393eqtr4g 2790 1 (𝜑 → (invr𝐾) = (invr𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  s cress 17208  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  invgcminusg 18895  mulGrpcmgp 20078  Unitcui 20298  invrcinvr 20330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-minusg 18898  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator