MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrhmunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrhmunit 20193
Description: Ring homomorphisms preserve unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elrhmunit ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘†))

Proof of Theorem elrhmunit
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
42, 3unitss 20097 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
5 simpr 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
64, 5sselid 3946 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 rhmrcl1 20160 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
92, 8ringidcl 19997 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
101, 7, 93syl 18 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 eqid 2733 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
143, 8, 11, 12, 13isunit 20094 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
155, 14sylib 217 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
1615simpld 496 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
17 eqid 2733 . . . . 5 (βˆ₯rβ€˜π‘†) = (βˆ₯rβ€˜π‘†)
182, 11, 17rhmdvdsr 20191 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
191, 6, 10, 16, 18syl31anc 1374 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
20 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
218, 20rhm1 20172 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
2221breq2d 5121 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
2322adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
2419, 23mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))
25 rhmopp 20192 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ ((opprβ€˜π‘…) RingHom (opprβ€˜π‘†)))
2625adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ ((opprβ€˜π‘…) RingHom (opprβ€˜π‘†)))
2715simprd 497 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
2812, 2opprbas 20064 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
29 eqid 2733 . . . . 5 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
3028, 13, 29rhmdvdsr 20191 . . . 4 (((𝐹 ∈ ((opprβ€˜π‘…) RingHom (opprβ€˜π‘†)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3126, 6, 10, 27, 30syl31anc 1374 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3221breq2d 5121 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†)))
3332adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†)))
3431, 33mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†))
35 eqid 2733 . . 3 (Unitβ€˜π‘†) = (Unitβ€˜π‘†)
36 eqid 2733 . . 3 (opprβ€˜π‘†) = (opprβ€˜π‘†)
3735, 20, 17, 36, 29isunit 20094 . 2 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘†) ↔ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†)))
3824, 34, 37sylanbrc 584 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  1rcur 19921  Ringcrg 19972  opprcoppr 20056  βˆ₯rcdsr 20075  Unitcui 20076   RingHom crh 20153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-ghm 19014  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-rnghom 20156
This theorem is referenced by:  rhmunitinv  20194  qqhval2lem  32626  fldhmf1  40597  imadrhmcl  40765
  Copyright terms: Public domain W3C validator