MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrhmunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrhmunit 20402
Description: Ring homomorphisms preserve unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elrhmunit ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘†))

Proof of Theorem elrhmunit
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2731 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
42, 3unitss 20268 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
64, 5sselid 3980 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 rhmrcl1 20368 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2731 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
92, 8ringidcl 20155 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
101, 7, 93syl 18 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 eqid 2731 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
12 eqid 2731 . . . . . . 7 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
13 eqid 2731 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
143, 8, 11, 12, 13isunit 20265 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
155, 14sylib 217 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
1615simpld 494 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
17 eqid 2731 . . . . 5 (βˆ₯rβ€˜π‘†) = (βˆ₯rβ€˜π‘†)
182, 11, 17rhmdvdsr 20400 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
191, 6, 10, 16, 18syl31anc 1372 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
20 eqid 2731 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
218, 20rhm1 20381 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
2221breq2d 5160 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
2322adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
2419, 23mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†))
25 rhmopp 20401 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ ((opprβ€˜π‘…) RingHom (opprβ€˜π‘†)))
2625adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ ((opprβ€˜π‘…) RingHom (opprβ€˜π‘†)))
2715simprd 495 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
2812, 2opprbas 20233 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
29 eqid 2731 . . . . 5 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
3028, 13, 29rhmdvdsr 20400 . . . 4 (((𝐹 ∈ ((opprβ€˜π‘…) RingHom (opprβ€˜π‘†)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐴(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3126, 6, 10, 27, 30syl31anc 1372 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3221breq2d 5160 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†)))
3332adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†)))
3431, 33mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†))
35 eqid 2731 . . 3 (Unitβ€˜π‘†) = (Unitβ€˜π‘†)
36 eqid 2731 . . 3 (opprβ€˜π‘†) = (opprβ€˜π‘†)
3735, 20, 17, 36, 29isunit 20265 . 2 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘†) ↔ ((πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘†)))
3824, 34, 37sylanbrc 582 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  1rcur 20076  Ringcrg 20128  opprcoppr 20225  βˆ₯rcdsr 20246  Unitcui 20247   RingHom crh 20361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-rhm 20364
This theorem is referenced by:  rhmunitinv  20403  imadrhmcl  20557  ply1asclunit  32929  qqhval2lem  33260  fldhmf1  41262
  Copyright terms: Public domain W3C validator