Theorem elrhmunit 20594

Description: Ring homomorphisms preserve unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elrhmunit	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))

Proof of Theorem elrhmunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
4	2, 3	unitss 20459	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
5		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
6	4, 5	sselid 3936	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		rhmrcl1 20559	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 8	ringidcl 20349	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	1, 7, 9	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
14	3, 8, 11, 12, 13	isunit 20456	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
15	14	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
16	15	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑆) = (∥r‘𝑆)
18	2, 11, 17	rhmdvdsr 20592	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)))
19	1, 6, 10, 16, 18	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)))
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
21	8, 20	rhm1 20572	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
22	21	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
23	22	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
24	19, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆))
25		rhmopp 20593	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)))
26	25	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)))
27	15	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
28	12, 2	opprbas 20426	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
29		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑆)) = (∥r‘(oppr‘𝑆))
30	28, 13, 29	rhmdvdsr 20592	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)))
31	26, 6, 10, 27, 30	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)))
32	21	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆)))
33	32	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆)))
34	31, 33	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆))
35		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
36		eqid 2763	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
37	35, 20, 17, 36, 29	isunit 20456	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆) ↔ ((𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆) ∧ (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆)))
38	24, 34, 37	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  opp_rcoppr 20419  ∥_rcdsr 20437  Unitcui 20438   RingHom crh 20552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-ghm 19285  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-rhm 20555

This theorem is referenced by:  rhmunitinv  20595  imadrhmcl  20881  ply1asclunit  33842  qqhval2lem  34349  fldhmf1  42835