Theorem lidlunitel 33416

Description: If an ideal 𝐼 contains a unit 𝐽, then it is the whole ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlunitel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlunitel.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lidlunitel.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
lidlunitel.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
lidlunitel.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lidlunitel.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lidlunitel	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem lidlunitel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlunitel.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lidlunitel.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		lidlunitel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
4		lidlunitel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	unitlinv 20419	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
9	1, 3, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
10		lidlunitel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10, 4	unitss 20402	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
12	4, 5	unitinvcl 20416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
13	1, 3, 12	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
14	11, 13	sselid 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵)
15		lidlunitel.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 10, 6	lidlmcl 21258	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
18	1, 2, 14, 15, 17	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
19	9, 18	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
20	16, 10, 7	lidl1el 21259	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
21	20	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
22	1, 2, 19, 21	syl21anc 837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  Unitcui 20381  inv_rcinvr 20413  LIdealclidl 21239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241

This theorem is referenced by:  unitpidl1  33417  dfufd2lem  33542  dfufd2  33543  ig1pnunit  33586