Theorem lidlunitel 33508

Description: If an ideal 𝐼 contains a unit 𝐽, then it is the whole ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlunitel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlunitel.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lidlunitel.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
lidlunitel.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
lidlunitel.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lidlunitel.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lidlunitel	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem lidlunitel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlunitel.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lidlunitel.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		lidlunitel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
4		lidlunitel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	unitlinv 20334	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
9	1, 3, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
10		lidlunitel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10, 4	unitss 20317	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
12	4, 5	unitinvcl 20331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
13	1, 3, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
14	11, 13	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵)
15		lidlunitel.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 10, 6	lidlmcl 21185	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
18	1, 2, 14, 15, 17	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
19	9, 18	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
20	16, 10, 7	lidl1el 21186	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
21	20	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
22	1, 2, 19, 21	syl21anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  ._rcmulr 17183  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  Unitcui 20296  inv_rcinvr 20328  LIdealclidl 21166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168

This theorem is referenced by:  unitpidl1  33509  dfufd2lem  33634  dfufd2  33635  ig1pnunit  33686