Theorem lidlunitel 33488

Description: If an ideal 𝐼 contains a unit 𝐽, then it is the whole ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlunitel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlunitel.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lidlunitel.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
lidlunitel.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
lidlunitel.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lidlunitel.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lidlunitel	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem lidlunitel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlunitel.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lidlunitel.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		lidlunitel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
4		lidlunitel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	unitlinv 20331	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
9	1, 3, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
10		lidlunitel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10, 4	unitss 20314	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
12	4, 5	unitinvcl 20328	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
13	1, 3, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
14	11, 13	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵)
15		lidlunitel.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 10, 6	lidlmcl 21182	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
18	1, 2, 14, 15, 17	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
19	9, 18	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
20	16, 10, 7	lidl1el 21183	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
21	20	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
22	1, 2, 19, 21	syl21anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  inv_rcinvr 20325  LIdealclidl 21163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165

This theorem is referenced by:  unitpidl1  33489  dfufd2lem  33614  dfufd2  33615  ig1pnunit  33666