Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlunitel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlunitel 33187
Description: If an ideal 𝐼 contains a unit 𝐽, then it is the whole ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlunitel.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lidlunitel.2 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
lidlunitel.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
lidlunitel.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐼)
lidlunitel.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
lidlunitel.6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
lidlunitel (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐡)

Proof of Theorem lidlunitel
StepHypRef Expression
1 lidlunitel.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 lidlunitel.6 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3 lidlunitel.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
4 lidlunitel.2 . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
5 eqid 2725 . . . . 5 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
6 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
7 eqid 2725 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
84, 5, 6, 7unitlinv 20336 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π½)(.rβ€˜π‘…)𝐽) = (1rβ€˜π‘…))
91, 3, 8syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π½)(.rβ€˜π‘…)𝐽) = (1rβ€˜π‘…))
10 lidlunitel.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1110, 4unitss 20319 . . . . 5 π‘ˆ βŠ† 𝐡
124, 5unitinvcl 20333 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π½) ∈ π‘ˆ)
131, 3, 12syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π½) ∈ π‘ˆ)
1411, 13sselid 3970 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π½) ∈ 𝐡)
15 lidlunitel.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐼)
16 eqid 2725 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
1716, 10, 6lidlmcl 21125 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π½) ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π½)(.rβ€˜π‘…)𝐽) ∈ 𝐼)
181, 2, 14, 15, 17syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π½)(.rβ€˜π‘…)𝐽) ∈ 𝐼)
199, 18eqeltrrd 2826 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
2016, 10, 7lidl1el 21126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐡))
2120biimpa 475 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 = 𝐡)
221, 2, 19, 21syl21anc 836 1 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  1rcur 20125  Ringcrg 20177  Unitcui 20298  invrcinvr 20330  LIdealclidl 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108
This theorem is referenced by:  unitpidl1  33188  ig1pnunit  33328
  Copyright terms: Public domain W3C validator