Theorem lidlunitel 33483

Description: If an ideal 𝐼 contains a unit 𝐽, then it is the whole ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlunitel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlunitel.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lidlunitel.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
lidlunitel.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
lidlunitel.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lidlunitel.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lidlunitel	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem lidlunitel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlunitel.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lidlunitel.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		lidlunitel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
4		lidlunitel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	unitlinv 20373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
9	1, 3, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
10		lidlunitel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10, 4	unitss 20356	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
12	4, 5	unitinvcl 20370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
13	1, 3, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
14	11, 13	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵)
15		lidlunitel.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 10, 6	lidlmcl 21223	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
18	1, 2, 14, 15, 17	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
19	9, 18	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
20	16, 10, 7	lidl1el 21224	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
21	20	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
22	1, 2, 19, 21	syl21anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  Unitcui 20335  inv_rcinvr 20367  LIdealclidl 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206

This theorem is referenced by:  unitpidl1  33484  dfufd2lem  33609  dfufd2  33610  ig1pnunit  33661