Theorem lidlunitel 33187

Description: If an ideal 𝐼 contains a unit 𝐽, then it is the whole ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlunitel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlunitel.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lidlunitel.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
lidlunitel.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
lidlunitel.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lidlunitel.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lidlunitel	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem lidlunitel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlunitel.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lidlunitel.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		lidlunitel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑈)
4		lidlunitel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	unitlinv 20336	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
9	1, 3, 8	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) = (1r‘𝑅))
10		lidlunitel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10, 4	unitss 20319	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
12	4, 5	unitinvcl 20333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
13	1, 3, 12	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝑈)
14	11, 13	sselid 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵)
15		lidlunitel.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 10, 6	lidlmcl 21125	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((invr‘𝑅)‘𝐽) ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
18	1, 2, 14, 15, 17	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝐽)(.r‘𝑅)𝐽) ∈ 𝐼)
19	9, 18	eqeltrrd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
20	16, 10, 7	lidl1el 21126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
21	20	biimpa 475	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
22	1, 2, 19, 21	syl21anc 836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  Unitcui 20298  inv_rcinvr 20330  LIdealclidl 21106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108

This theorem is referenced by:  unitpidl1  33188  ig1pnunit  33328