Theorem dchrpt 27230

Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
dchrpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
dchrpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dchrpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrpt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrpt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrpt.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
6		dchrpt.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		dchrpt.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
9	8	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ≠ 1 )
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))
12		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
13		oveq1 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
14	13	cbvmptv 5225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
15		fveq2 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑤‘𝑘) = (𝑤‘𝑎))
16	15	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎)))
17	16	mpteq2dv 5215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
18	14, 17	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
19	18	rneqd 5918	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
20	19	cbvmptv 5225	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑎 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
21		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
22		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍))
23		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))))
24		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24	dchrptlem3 27229	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
26	25	3adantr1 1170	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
27	10, 11	unitgrpbas 20342	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} = {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
29	6	nnnn0d 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	2	zncrng 21505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
31	10, 11	unitabl 20344	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
34	2, 4	znfi 21520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
36	4, 10	unitss 20336	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
37		ssfi 9187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
40		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))
41	27, 28, 33, 39, 12, 40	ablfac2 20072	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍)))
42	26, 41	r19.29a 3148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
43	1	dchrabl 27217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44		ablgrp 19766	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
45		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46	3, 45	grpidcl 18948	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
47	6, 43, 44, 46	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
48		0ne1 12311	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
49		dchrpt.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
50	1, 2, 3, 4, 10, 47, 49	dchrn0 27213	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
51	50	necon1bbid 2971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0))
52	51	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0)
53	52	neeq1d 2991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
54	48, 53	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1)
55		fveq1 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝐺)‘𝐴))
56	55	neeq1d 2991	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥‘𝐴) ≠ 1 ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1))
57	56	rspcev 3601	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐷 ∧ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
58	47, 54, 57	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
59	42, 58	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3415   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  0cc0 11129  1c1 11130  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  Word cword 14531  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  ._gcmg 19050  SubGrpcsubg 19103   pGrp cpgp 19507  Abelcabl 19762  CycGrpccyg 19858   DProd cdprd 19976  mulGrpcmgp 20100  1_rcur 20141  CRingccrg 20194  Unitcui 20315  ℤ/nℤczn 21463  DChrcdchr 27195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-rpss 7717  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-qus 17523  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-ghm 19196  df-gim 19242  df-ga 19273  df-cntz 19300  df-oppg 19329  df-od 19509  df-gex 19510  df-pgp 19511  df-lsm 19617  df-pj1 19618  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-cyg 19859  df-dprd 19978  df-dpj 19979  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-2idl 21211  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-zn 21467  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-dchr 27196

This theorem is referenced by:  sumdchr2  27233