Theorem dchrpt 27238

Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
dchrpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
dchrpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dchrpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrpt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrpt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrpt.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
6		dchrpt.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		dchrpt.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
9	8	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ≠ 1 )
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
13		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
14	13	cbvmptv 5203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
15		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑤‘𝑘) = (𝑤‘𝑎))
16	15	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎)))
17	16	mpteq2dv 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
18	14, 17	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
19	18	rneqd 5888	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
20	19	cbvmptv 5203	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑎 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
21		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
22		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍))
23		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))))
24		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24	dchrptlem3 27237	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
26	25	3adantr1 1171	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
27	10, 11	unitgrpbas 20322	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} = {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
29	6	nnnn0d 12466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	2	zncrng 21503	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
31	10, 11	unitabl 20324	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
34	2, 4	znfi 21518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
36	4, 10	unitss 20316	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
37		ssfi 9101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))
41	27, 28, 33, 39, 12, 40	ablfac2 20024	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍)))
42	26, 41	r19.29a 3145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
43	1	dchrabl 27225	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44		ablgrp 19718	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
45		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46	3, 45	grpidcl 18899	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
47	6, 43, 44, 46	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
48		0ne1 12220	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
49		dchrpt.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
50	1, 2, 3, 4, 10, 47, 49	dchrn0 27221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
51	50	necon1bbid 2972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0))
52	51	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0)
53	52	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
54	48, 53	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1)
55		fveq1 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝐺)‘𝐴))
56	55	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥‘𝐴) ≠ 1 ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1))
57	56	rspcev 3577	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐷 ∧ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
58	47, 54, 57	syl2an2r 686	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
59	42, 58	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  {crab 3400   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625  ran crn 5626  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  0cc0 11030  1c1 11031  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  Word cword 14440  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  0_gc0g 17363  Grpcgrp 18867  ._gcmg 19001  SubGrpcsubg 19054   pGrp cpgp 19459  Abelcabl 19714  CycGrpccyg 19810   DProd cdprd 19928  mulGrpcmgp 20079  1_rcur 20120  CRingccrg 20173  Unitcui 20295  ℤ/nℤczn 21461  DChrcdchr 27203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-prm 16603  df-pc 16769  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-qus 17434  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-ga 19223  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-od 19461  df-gex 19462  df-pgp 19463  df-lsm 19569  df-pj1 19570  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-cyg 19811  df-dprd 19930  df-dpj 19931  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zn 21465  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828  df-log 26525  df-cxp 26526  df-dchr 27204

This theorem is referenced by:  sumdchr2  27241