Theorem dchrpt 27218

Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
dchrpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
dchrpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dchrpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrpt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrpt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrpt.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
6		dchrpt.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		dchrpt.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
9	8	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ≠ 1 )
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
13		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
14	13	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
15		fveq2 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑤‘𝑘) = (𝑤‘𝑎))
16	15	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎)))
17	16	mpteq2dv 5180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
18	14, 17	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
19	18	rneqd 5885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
20	19	cbvmptv 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑎 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
21		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
22		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍))
23		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))))
24		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24	dchrptlem3 27217	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
26	25	3adantr1 1171	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
27	10, 11	unitgrpbas 20320	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} = {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
29	6	nnnn0d 12463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	2	zncrng 21501	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
31	10, 11	unitabl 20322	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
34	2, 4	znfi 21516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
36	4, 10	unitss 20314	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
37		ssfi 9098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))
41	27, 28, 33, 39, 12, 40	ablfac2 20024	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍)))
42	26, 41	r19.29a 3146	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
43	1	dchrabl 27205	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44		ablgrp 19718	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
45		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46	3, 45	grpidcl 18899	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
47	6, 43, 44, 46	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
48		0ne1 12217	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
49		dchrpt.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
50	1, 2, 3, 4, 10, 47, 49	dchrn0 27201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
51	50	necon1bbid 2972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0))
52	51	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0)
53	52	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
54	48, 53	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1)
55		fveq1 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝐺)‘𝐴))
56	55	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥‘𝐴) ≠ 1 ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1))
57	56	rspcev 3565	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐷 ∧ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
58	47, 54, 57	syl2an2r 686	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
59	42, 58	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  0cc0 11027  1c1 11028  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  Word cword 14437  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  0_gc0g 17360  Grpcgrp 18867  ._gcmg 19001  SubGrpcsubg 19054   pGrp cpgp 19459  Abelcabl 19714  CycGrpccyg 19810   DProd cdprd 19928  mulGrpcmgp 20079  1_rcur 20120  CRingccrg 20173  Unitcui 20293  ℤ/nℤczn 21459  DChrcdchr 27183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-rpss 7668  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-bc 14227  df-hash 14255  df-word 14438  df-concat 14495  df-s1 14521  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15395  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-ef 15991  df-sin 15993  df-cos 15994  df-pi 15996  df-dvds 16181  df-gcd 16423  df-prm 16600  df-pc 16766  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-qus 17431  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-ga 19223  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-od 19461  df-gex 19462  df-pgp 19463  df-lsm 19569  df-pj1 19570  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-cyg 19811  df-dprd 19930  df-dpj 19931  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166  df-2idl 21207  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-zn 21463  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-cncf 24823  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26505  df-cxp 26506  df-dchr 27184

This theorem is referenced by:  sumdchr2  27221