Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrpt 25830
 Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dchrpt (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dchrpt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrpt.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrpt.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 dchrpt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchrpt.1 . . . . 5 1 = (1r𝑍)
6 dchrpt.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8 dchrpt.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐴1 )
98ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴1 )
10 eqid 2820 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11 eqid 2820 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))
12 eqid 2820 . . . . 5 (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
13 oveq1 7140 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑏 → (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))
1413cbvmptv 5145 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))
15 fveq2 6646 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑎 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝑎))
1615oveq2d 7149 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑎 → (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎)))
1716mpteq2dv 5138 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
1814, 17syl5eq 2867 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑎 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
1918rneqd 5784 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑎 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
2019cbvmptv 5145 . . . . 5 (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) = (𝑎 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
21 simpllr 774 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
22 simplr 767 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍))
23 simprl 769 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))))
24 simprr 771 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))
251, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24dchrptlem3 25829 . . . 4 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
26253adantr1 1165 . . 3 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
2710, 11unitgrpbas 19395 . . . 4 (Unit‘𝑍) = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
28 eqid 2820 . . . 4 {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} = {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
296nnnn0d 11934 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
302zncrng 20667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
3110, 11unitabl 19397 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
3229, 30, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
3332adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
342, 4znfi 20682 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
356, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
364, 10unitss 19389 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
37 ssfi 8716 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
3835, 36, 37sylancl 588 . . . . 5 (𝜑 → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
3938adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
40 eqid 2820 . . . 4 (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) = (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))
4127, 28, 33, 39, 12, 40ablfac2 19190 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍)))
4226, 41r19.29a 3276 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
431dchrabl 25817 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 18890 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
45 eqid 2820 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
463, 45grpidcl 18110 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
476, 43, 44, 464syl 19 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
48 0ne1 11687 . . . 4 0 ≠ 1
49 dchrpt.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
501, 2, 3, 4, 10, 47, 49dchrn0 25813 . . . . . . 7 (𝜑 → (((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
5150necon1bbid 3045 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ((0g𝐺)‘𝐴) = 0))
5251biimpa 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g𝐺)‘𝐴) = 0)
5352neeq1d 3065 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
5448, 53mpbiri 260 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1)
55 fveq1 6645 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥𝐴) = ((0g𝐺)‘𝐴))
5655neeq1d 3065 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → ((𝑥𝐴) ≠ 1 ↔ ((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1))
5756rspcev 3602 . . 3 (((0g𝐺) ∈ 𝐷 ∧ ((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
5847, 54, 57syl2an2r 683 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
5942, 58pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∃wrex 3126  {crab 3129   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  dom cdm 5531  ran crn 5532  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  Fincfn 8487  0cc0 10515  1c1 10516  ℕcn 11616  ℕ0cn0 11876  ℤcz 11960  Word cword 13846  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  0gc0g 16692  Grpcgrp 18082  .gcmg 18203  SubGrpcsubg 18252   pGrp cpgp 18633  Abelcabl 18886  CycGrpccyg 18975   DProd cdprd 19094  mulGrpcmgp 19218  1rcur 19230  CRingccrg 19277  Unitcui 19368  ℤ/nℤczn 20626  DChrcdchr 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-rpss 7427  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-ec 8269  df-qs 8273  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-word 13847  df-concat 13903  df-s1 13930  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-dvds 15588  df-gcd 15822  df-prm 15994  df-pc 16152  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-qus 16761  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-nsg 18256  df-eqg 18257  df-ghm 18335  df-gim 18378  df-ga 18399  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-od 18635  df-gex 18636  df-pgp 18637  df-lsm 18740  df-pj1 18741  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-cyg 18976  df-dprd 19096  df-dpj 19097  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-rnghom 19446  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-lidl 19922  df-rsp 19923  df-2idl 19981  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-zring 20594  df-zrh 20627  df-zn 20630  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-log 25127  df-cxp 25128  df-dchr 25796 This theorem is referenced by:  sumdchr2  25833
 Copyright terms: Public domain W3C validator