Theorem dchrpt 27595

Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
dchrpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
dchrpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dchrpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrpt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrpt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrpt.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
6		dchrpt.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		dchrpt.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
9	8	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ≠ 1 )
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
13		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
14	13	cbvmptv 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
15		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑤‘𝑘) = (𝑤‘𝑎))
16	15	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎)))
17	16	mpteq2dv 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
18	14, 17	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
19	18	rneqd 5919	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
20	19	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑎 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
21		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
22		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍))
23		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))))
24		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24	dchrptlem3 27594	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
26	25	3adantr1 1188	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
27	10, 11	unitgrpbas 20613	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} = {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
29	6	nnnn0d 12668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	2	zncrng 21851	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
31	10, 11	unitabl 20615	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
34	2, 4	znfi 21866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
35	6, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
36	4, 10	unitss 20607	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
37		ssfi 9189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
39	38	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
40		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))
41	27, 28, 33, 39, 12, 40	ablfac2 20306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍)))
42	26, 41	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
43	1	dchrabl 27582	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44		ablgrp 20000	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
45		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46	3, 45	grpidcl 19177	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
47	6, 43, 44, 46	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
48		0ne1 12415	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
49		dchrpt.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
50	1, 2, 3, 4, 10, 47, 49	dchrn0 27578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
51	50	necon1bbid 2994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0))
52	51	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0)
53	52	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
54	48, 53	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1)
55		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝐺)‘𝐴))
56	55	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥‘𝐴) ≠ 1 ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1))
57	56	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐷 ∧ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
58	47, 54, 57	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
59	42, 58	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  0cc0 11201  1c1 11202  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  Word cword 14659  Basecbs 17388   ↾_s cress 17409  0_gc0g 17611  Grpcgrp 19145  ._gcmg 19278  SubGrpcsubg 19331   pGrp cpgp 19741  Abelcabl 19996  CycGrpccyg 20092   DProd cdprd 20210  mulGrpcmgp 20361  1_rcur 20408  CRingccrg 20461  Unitcui 20586  ℤ/nℤczn 21809  DChrcdchr 27560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280  ax-mulf 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-pi 16239  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-pc 17016  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-qus 17682  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-nsg 19335  df-eqg 19336  df-ghm 19429  df-gim 19474  df-ga 19505  df-cntz 19532  df-oppg 19561  df-od 19743  df-gex 19744  df-pgp 19745  df-lsm 19851  df-pj1 19852  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-cyg 20093  df-dprd 20212  df-dpj 20213  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-rhm 20703  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-lidl 21487  df-rsp 21488  df-2idl 21544  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-zring 21754  df-zrh 21810  df-zn 21813  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188  df-log 26885  df-cxp 26886  df-dchr 27561

This theorem is used by:  sumdchr2  27598