Theorem dchrpt 27187

Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
dchrpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
dchrpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dchrpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrpt.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrpt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrpt.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
6		dchrpt.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		dchrpt.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1 )
9	8	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ≠ 1 )
10		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))
12		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
13		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
14	13	cbvmptv 5255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))
15		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑤‘𝑘) = (𝑤‘𝑎))
16	15	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎)))
17	16	mpteq2dv 5244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
18	14, 17	eqtrid 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
19	18	rneqd 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))) = ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
20	19	cbvmptv 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑎 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑎))))
21		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
22		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍))
23		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))))
24		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24	dchrptlem3 27186	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
26	25	3adantr1 1167	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
27	10, 11	unitgrpbas 20310	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
28		eqid 2727	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} = {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
29	6	nnnn0d 12554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	2	zncrng 21465	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
31	10, 11	unitabl 20312	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
34	2, 4	znfi 21480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
36	4, 10	unitss 20304	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
37		ssfi 9189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
40		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))
41	27, 28, 33, 39, 12, 40	ablfac2 20037	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤‘𝑘))))) = (Unit‘𝑍)))
42	26, 41	r19.29a 3157	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
43	1	dchrabl 27174	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44		ablgrp 19731	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
45		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46	3, 45	grpidcl 18913	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
47	6, 43, 44, 46	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
48		0ne1 12305	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
49		dchrpt.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
50	1, 2, 3, 4, 10, 47, 49	dchrn0 27170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
51	50	necon1bbid 2975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0))
52	51	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) = 0)
53	52	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
54	48, 53	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1)
55		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝐺)‘𝐴))
56	55	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥‘𝐴) ≠ 1 ↔ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1))
57	56	rspcev 3607	. . 3 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐷 ∧ ((0g‘𝐺)‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
58	47, 54, 57	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)
59	42, 58	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065  {crab 3427   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  Word cword 14488  Basecbs 17171   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17412  Grpcgrp 18881  ._gcmg 19014  SubGrpcsubg 19066   pGrp cpgp 19472  Abelcabl 19727  CycGrpccyg 19823   DProd cdprd 19941  mulGrpcmgp 20065  1_rcur 20112  CRingccrg 20165  Unitcui 20283  ℤ/nℤczn 21415  DChrcdchr 27152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-rpss 7722  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-gim 19204  df-ga 19232  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-od 19474  df-gex 19475  df-pgp 19476  df-lsm 19582  df-pj1 19583  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-cyg 19824  df-dprd 19943  df-dpj 19944  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-dchr 27153

This theorem is referenced by:  sumdchr2  27190