MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem1 27217
Description: Lemma for dchrpt 27220. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝐶,,𝑚,𝑢   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑀,𝑚   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑢,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6911 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐶 → (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))))
21anbi1d 629 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐶 → ((((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
32rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑢 = 𝐶 → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
43iotabidv 6537 . . . 4 (𝑢 = 𝐶 → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
5 dchrpt.5 . . . 4 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
6 iotaex 6526 . . . 4 (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt3i 7015 . . 3 (𝐶𝑈 → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
87ad2antlr 725 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
9 ovex 7459 . . 3 (𝑇𝑀) ∈ V
10 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)))
11 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
1211simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
1310, 12eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
14 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝜑)
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1611simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817nnnn0d 12570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
19 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2019zncrng 21485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
21 crngring 20192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
22 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 = (Unit‘𝑍)
23 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
2422, 23unitgrp 20329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
2518, 20, 21, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐻 ∈ Grp)
27 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
28 wrdf 14509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
30 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
3129fdmd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3230, 31eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3329, 32ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
35 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
36 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3722, 23unitgrpbas 20328 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Base‘𝐻)
38 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = (od‘𝐻)
39 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.g𝐻)
40 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐻) = (0g𝐻)
4137, 38, 39, 40odcong 19511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
4226, 34, 35, 36, 41syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
43 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
44 neg1cn 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℂ
45 2re 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
46 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵 = (Base‘𝑍)
4719, 46znfi 21500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
4817, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4946, 22unitss 20322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑈𝐵
50 ssfi 9204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
5237, 38odcl2 19527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5325, 51, 33, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
55 nndivre 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5645, 54, 55sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5756recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
58 cxpcl 26628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
5944, 57, 58sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
6043, 59eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
6144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ∈ ℂ)
62 neg1ne0 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ≠ 0)
6461, 63, 57cxpne0d 26667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6543neeq1i 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6664, 65sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ≠ 0)
67 zsubcl 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6867ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6936adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
70 expaddz 14111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ ((𝑚𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7160, 66, 68, 69, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7235adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7372zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
7469zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7573, 74npcand 11613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑚𝑀) + 𝑀) = 𝑚)
7675oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = (𝑇𝑚))
7743oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇↑(𝑚𝑀)) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀))
78 root1eq1 26710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ (𝑚𝑀) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
7953, 67, 78syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
8079biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1)
8177, 80eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑(𝑚𝑀)) = 1)
8281oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (1 · (𝑇𝑀)))
8360, 66, 69expclzd 14155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑀) ∈ ℂ)
8483mullidd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (1 · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8582, 84eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8671, 76, 853eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
8786ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8842, 87sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8914, 15, 16, 88syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
9013, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9190eqeq2d 2739 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9291biimpd 228 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) → = (𝑇𝑀)))
9392expimpd 452 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
9493rexlimdva 3152 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
95 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
9695eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
97 oveq2 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9897eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9996, 98anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))))
10099rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)))
101100expr 455 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
102101adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
10394, 102impbid 211 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
104103adantr 479 . . . 4 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
105104iota5 6536 . . 3 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1069, 105mpan2 689 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1078, 106eqtrd 2768 1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3473  wss 3949   class class class wbr 5152  cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683  cio 6503  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  cn 12250  2c2 12305  0cn0 12510  cz 12596  ..^cfzo 13667  cexp 14066  chash 14329  Word cword 14504  cdvds 16238  Basecbs 17187  s cress 17216  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  .gcmg 19030  odcod 19486   DProd cdprd 19957  dProjcdpj 19958  mulGrpcmgp 20081  1rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  Unitcui 20301  ℤ/nczn 21435  𝑐ccxp 26509  DChrcdchr 27185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-word 14505  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-qus 17498  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-od 19490  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-zn 21439  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-cxp 26511
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  27218
  Copyright terms: Public domain W3C validator