MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem1 25837
Description: Lemma for dchrpt 25840. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝐶,,𝑚,𝑢   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑀,𝑚   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑢,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6660 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐶 → (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))))
21anbi1d 632 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐶 → ((((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
32rexbidv 3289 . . . . 5 (𝑢 = 𝐶 → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
43iotabidv 6320 . . . 4 (𝑢 = 𝐶 → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
5 dchrpt.5 . . . 4 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
6 iotaex 6316 . . . 4 (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt3i 6754 . . 3 (𝐶𝑈 → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
87ad2antlr 726 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
9 ovex 7171 . . 3 (𝑇𝑀) ∈ V
10 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)))
11 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
1211simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
1310, 12eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
14 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝜑)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1611simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817nnnn0d 11941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
19 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2019zncrng 20677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
21 crngring 19297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
22 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 = (Unit‘𝑍)
23 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
2422, 23unitgrp 19406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
2518, 20, 21, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐻 ∈ Grp)
27 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
28 wrdf 13860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
30 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
3129fdmd 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3230, 31eleqtrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3329, 32ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
3433adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
35 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
36 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3722, 23unitgrpbas 19405 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Base‘𝐻)
38 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = (od‘𝐻)
39 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.g𝐻)
40 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐻) = (0g𝐻)
4137, 38, 39, 40odcong 18666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
4226, 34, 35, 36, 41syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
43 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
44 neg1cn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℂ
45 2re 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
46 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵 = (Base‘𝑍)
4719, 46znfi 20692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
4817, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4946, 22unitss 19399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑈𝐵
50 ssfi 8722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
5237, 38odcl2 18681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5325, 51, 33, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
55 nndivre 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5645, 54, 55sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5756recnd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
58 cxpcl 25254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
5944, 57, 58sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
6043, 59eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
6144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ∈ ℂ)
62 neg1ne0 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ≠ 0)
6461, 63, 57cxpne0d 25293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6543neeq1i 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6664, 65sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ≠ 0)
67 zsubcl 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6936adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
70 expaddz 13467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ ((𝑚𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7160, 66, 68, 69, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7235adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7372zcnd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
7469zcnd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7573, 74npcand 10986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑚𝑀) + 𝑀) = 𝑚)
7675oveq2d 7154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = (𝑇𝑚))
7743oveq1i 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇↑(𝑚𝑀)) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀))
78 root1eq1 25333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ (𝑚𝑀) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
7953, 67, 78syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
8079biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1)
8177, 80syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑(𝑚𝑀)) = 1)
8281oveq1d 7153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (1 · (𝑇𝑀)))
8360, 66, 69expclzd 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑀) ∈ ℂ)
8483mulid2d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (1 · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8582, 84eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8671, 76, 853eqtr3d 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
8786ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8842, 87sylbird 263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8914, 15, 16, 88syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
9013, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9190eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9291biimpd 232 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) → = (𝑇𝑀)))
9392expimpd 457 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
9493rexlimdva 3276 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
95 oveq1 7145 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
9695eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
97 oveq2 7146 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9897eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9996, 98anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))))
10099rspcev 3608 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)))
101100expr 460 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
102101adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
10394, 102impbid 215 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
104103adantr 484 . . . 4 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
105104iota5 6319 . . 3 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1069, 105mpan2 690 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1078, 106eqtrd 2859 1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133  Vcvv 3479  wss 3918   class class class wbr 5047  cmpt 5127  dom cdm 5536  ran crn 5537  cio 6293  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  Fincfn 8492  cc 10520  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527  cmin 10855  -cneg 10856   / cdiv 11282  cn 11623  2c2 11678  0cn0 11883  cz 11967  ..^cfzo 13026  cexp 13423  chash 13684  Word cword 13855  cdvds 15596  Basecbs 16472  s cress 16473  0gc0g 16702  Grpcgrp 18092  .gcmg 18213  odcod 18641   DProd cdprd 19104  dProjcdpj 19105  mulGrpcmgp 19228  1rcur 19240  Ringcrg 19286  CRingccrg 19287  Unitcui 19378  ℤ/nczn 20636  𝑐ccxp 25136  DChrcdchr 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ioc 12729  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-word 13856  df-shft 14415  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-ef 15410  df-sin 15412  df-cos 15413  df-pi 15415  df-dvds 15597  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-qus 16771  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-mulg 18214  df-subg 18265  df-nsg 18266  df-eqg 18267  df-ghm 18345  df-cntz 18436  df-od 18645  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-rnghom 19456  df-subrg 19519  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-lidl 19932  df-rsp 19933  df-2idl 19991  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-zring 20604  df-zrh 20637  df-zn 20640  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-lp 21730  df-perf 21731  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-haus 21909  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cncf 23472  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25137  df-cxp 25138
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  25838
  Copyright terms: Public domain W3C validator