MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem1 25441
Description: Lemma for dchrpt 25444. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝐶,,𝑚,𝑢   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑀,𝑚   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑢,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6455 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐶 → (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))))
21anbi1d 623 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐶 → ((((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
32rexbidv 3237 . . . . 5 (𝑢 = 𝐶 → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
43iotabidv 6120 . . . 4 (𝑢 = 𝐶 → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
5 dchrpt.5 . . . 4 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
6 iotaex 6116 . . . 4 (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt3i 6547 . . 3 (𝐶𝑈 → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
87ad2antlr 717 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
9 ovex 6954 . . 3 (𝑇𝑀) ∈ V
10 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)))
11 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
1211simprd 491 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
1310, 12eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
14 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝜑)
15 simplr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1611simpld 490 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817nnnn0d 11702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
19 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2019zncrng 20288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
21 crngring 18945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
22 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 = (Unit‘𝑍)
23 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
2422, 23unitgrp 19054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
2518, 20, 21, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
2625adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐻 ∈ Grp)
27 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
28 wrdf 13604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
30 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
3129fdmd 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3230, 31eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3329, 32ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
3433adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
35 simprl 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
36 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3722, 23unitgrpbas 19053 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Base‘𝐻)
38 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = (od‘𝐻)
39 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.g𝐻)
40 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐻) = (0g𝐻)
4137, 38, 39, 40odcong 18352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
4226, 34, 35, 36, 41syl112anc 1442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
43 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
44 neg1cn 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℂ
45 2re 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
46 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵 = (Base‘𝑍)
4719, 46znfi 20303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
4817, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4946, 22unitss 19047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑈𝐵
50 ssfi 8468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
5237, 38odcl2 18366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5325, 51, 33, 52syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5453ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
55 nndivre 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5645, 54, 55sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5756recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
58 cxpcl 24857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
5944, 57, 58sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
6043, 59syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
6144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ∈ ℂ)
62 neg1ne0 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ≠ 0)
6461, 63, 57cxpne0d 24896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6543neeq1i 3033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6664, 65sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ≠ 0)
67 zsubcl 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6867ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6936adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
70 expaddz 13222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ ((𝑚𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7160, 66, 68, 69, 70syl22anc 829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7235adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7372zcnd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
7469zcnd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7573, 74npcand 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑚𝑀) + 𝑀) = 𝑚)
7675oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = (𝑇𝑚))
7743oveq1i 6932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇↑(𝑚𝑀)) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀))
78 root1eq1 24936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ (𝑚𝑀) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
7953, 67, 78syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
8079biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1)
8177, 80syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑(𝑚𝑀)) = 1)
8281oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (1 · (𝑇𝑀)))
8360, 66, 69expclzd 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑀) ∈ ℂ)
8483mulid2d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (1 · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8582, 84eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8671, 76, 853eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
8786ex 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8842, 87sylbird 252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8914, 15, 16, 88syl12anc 827 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
9013, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9190eqeq2d 2788 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9291biimpd 221 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) → = (𝑇𝑀)))
9392expimpd 447 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
9493rexlimdva 3213 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
95 oveq1 6929 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
9695eqeq2d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
97 oveq2 6930 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9897eqeq2d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9996, 98anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))))
10099rspcev 3511 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)))
101100expr 450 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
102101adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
10394, 102impbid 204 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
104103adantr 474 . . . 4 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
105104iota5 6119 . . 3 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1069, 105mpan2 681 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1078, 106eqtrd 2814 1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wrex 3091  Vcvv 3398  wss 3792   class class class wbr 4886  cmpt 4965  dom cdm 5355  ran crn 5356  cio 6097  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  ..^cfzo 12784  cexp 13178  chash 13435  Word cword 13599  cdvds 15387  Basecbs 16255  s cress 16256  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  .gcmg 17927  odcod 18328   DProd cdprd 18779  dProjcdpj 18780  mulGrpcmgp 18876  1rcur 18888  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935  Unitcui 19026  ℤ/nczn 20247  𝑐ccxp 24739  DChrcdchr 25409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-word 13600  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-qus 16555  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-nsg 17976  df-eqg 17977  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-od 18332  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-rsp 19572  df-2idl 19629  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-zn 20251  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-cxp 24741
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  25442
  Copyright terms: Public domain W3C validator