MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem1 26612
Description: Lemma for dchrpt 26615. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝐶,,𝑚,𝑢   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑀,𝑚   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑢,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6851 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐶 → (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))))
21anbi1d 630 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐶 → ((((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
32rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑢 = 𝐶 → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
43iotabidv 6480 . . . 4 (𝑢 = 𝐶 → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
5 dchrpt.5 . . . 4 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
6 iotaex 6469 . . . 4 (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt3i 6953 . . 3 (𝐶𝑈 → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
87ad2antlr 725 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
9 ovex 7390 . . 3 (𝑇𝑀) ∈ V
10 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)))
11 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
1211simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
1310, 12eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
14 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝜑)
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1611simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
19 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2019zncrng 20951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
21 crngring 19976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
22 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 = (Unit‘𝑍)
23 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
2422, 23unitgrp 20096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
2518, 20, 21, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐻 ∈ Grp)
27 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
28 wrdf 14407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑈)
30 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
3129fdmd 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3230, 31eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3329, 32ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
35 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
36 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3722, 23unitgrpbas 20095 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Base‘𝐻)
38 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = (od‘𝐻)
39 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.g𝐻)
40 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐻) = (0g𝐻)
4137, 38, 39, 40odcong 19331 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
4226, 34, 35, 36, 41syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
43 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
44 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℂ
45 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
46 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵 = (Base‘𝑍)
4719, 46znfi 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
4817, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4946, 22unitss 20089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑈𝐵
50 ssfi 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
5237, 38odcl2 19347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5325, 51, 33, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
55 nndivre 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5645, 54, 55sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5756recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
58 cxpcl 26029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
5944, 57, 58sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
6043, 59eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
6144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ∈ ℂ)
62 neg1ne0 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ≠ 0)
6461, 63, 57cxpne0d 26068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6543neeq1i 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6664, 65sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ≠ 0)
67 zsubcl 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6867ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
6936adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
70 expaddz 14012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ ((𝑚𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7160, 66, 68, 69, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7372zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
7469zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7573, 74npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑚𝑀) + 𝑀) = 𝑚)
7675oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = (𝑇𝑚))
7743oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇↑(𝑚𝑀)) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀))
78 root1eq1 26108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ (𝑚𝑀) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
7953, 67, 78syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
8079biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1)
8177, 80eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑(𝑚𝑀)) = 1)
8281oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (1 · (𝑇𝑀)))
8360, 66, 69expclzd 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑀) ∈ ℂ)
8483mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (1 · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8582, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8671, 76, 853eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
8786ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8842, 87sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
8914, 15, 16, 88syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
9013, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9190eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9291biimpd 228 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) → = (𝑇𝑀)))
9392expimpd 454 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
9493rexlimdva 3152 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
95 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
9695eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
97 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9897eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9996, 98anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))))
10099rspcev 3581 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)))
101100expr 457 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
102101adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
10394, 102impbid 211 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
104103adantr 481 . . . 4 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
105104iota5 6479 . . 3 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1069, 105mpan2 689 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1078, 106eqtrd 2776 1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cio 6446  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  ..^cfzo 13567  cexp 13967  chash 14230  Word cword 14402  cdvds 16136  Basecbs 17083  s cress 17112  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872  odcod 19306   DProd cdprd 19772  dProjcdpj 19773  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  ℤ/nczn 20903  𝑐ccxp 25911  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-word 14403  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  26613
  Copyright terms: Public domain W3C validator