MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1 27189
Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchr1.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchr1.o 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchr1.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchr1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchr1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π΄) = 1)

Proof of Theorem dchr1
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchr1.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
5 dchr1.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
6 eqid 2728 . . . 4 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
7 dchr1.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchr1cl 27183 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
9 eleq1w 2812 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
109ifbid 4552 . . . . 5 (π‘˜ = π‘₯ β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
1110cbvmptv 5261 . . . 4 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
12 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
131, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8dchrmullid 27184 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
141dchrabl 27186 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
15 ablgrp 19739 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
16 dchr1.o . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
173, 12, 16isgrpid2 18932 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))) ↔ 1 = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))))
187, 14, 15, 174syl 19 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))) ↔ 1 = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))))
198, 13, 18mpbi2and 711 . 2 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
20 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐴) β†’ π‘˜ = 𝐴)
21 dchr1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
2221adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
2320, 22eqeltrd 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
2423iftrued 4537 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) = 1)
254, 5unitss 20314 . . 3 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
2625, 21sselid 3978 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
27 1cnd 11239 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2819, 24, 26, 27fvmptd 7012 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π΄) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139  β„•cn 12242  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Grpcgrp 18889  Abelcabl 19735  Unitcui 20293  β„€/nβ„€czn 21427  DChrcdchr 27164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-2idl 21143  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zn 21431  df-dchr 27165
This theorem is referenced by:  dchrinv  27193  dchr1re  27195  dchrsum2  27200  rpvmasumlem  27419  rpvmasum2  27444
  Copyright terms: Public domain W3C validator