Theorem dchr1 27220

Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchr1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchr1	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem dchr1

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
7		dchr1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchr1cl 27214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
9		eleq1w 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
10	9	ifbid 4524	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
11	10	cbvmptv 5225	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8	dchrmullid 27215	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
14	1	dchrabl 27217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablgrp 19766	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
16		dchr1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
17	3, 12, 16	isgrpid2 18959	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
18	7, 14, 15, 17	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
19	8, 13, 18	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐴)
21		dchr1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
23	20, 22	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23	iftrued 4508	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = 1)
25	4, 5	unitss 20336	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
26	25, 21	sselid 3956	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
27		1cnd 11230	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28	19, 24, 26, 27	fvmptd 6993	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130  ℕcn 12240  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  Abelcabl 19762  Unitcui 20315  ℤ/nℤczn 21463  DChrcdchr 27195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-2idl 21211  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zn 21467  df-dchr 27196

This theorem is referenced by:  dchrinv  27224  dchr1re  27226  dchrsum2  27231  rpvmasumlem  27450  rpvmasum2  27475