MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1 25434
Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1.o 1 = (0g𝐺)
dchr1.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchr1.a (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchr1 (𝜑 → ( 1𝐴) = 1)

Proof of Theorem dchr1
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchr1.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchr1.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6 eqid 2778 . . . 4 (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
7 dchr1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchr1cl 25428 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
9 eleq1w 2842 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑈𝑥𝑈))
109ifbid 4329 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑈, 1, 0) = if(𝑥𝑈, 1, 0))
1110cbvmptv 4985 . . . 4 (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑥𝑈, 1, 0))
12 eqid 2778 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
131, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8dchrmulid2 25429 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))(+g𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
141dchrabl 25431 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
15 ablgrp 18584 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
16 dchr1.o . . . . 5 1 = (0g𝐺)
173, 12, 16isgrpid2 17845 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))(+g𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))))
187, 14, 15, 174syl 19 . . 3 (𝜑 → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))(+g𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))))
198, 13, 18mpbi2and 702 . 2 (𝜑1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
20 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐴)
21 dchr1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
2221adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐴𝑈)
2320, 22eqeltrd 2859 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝑘𝑈)
2423iftrued 4315 . 2 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → if(𝑘𝑈, 1, 0) = 1)
254, 5unitss 19047 . . 3 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
2625, 21sseldi 3819 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
27 1cnd 10371 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2819, 24, 26, 27fvmptd 6548 1 (𝜑 → ( 1𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  ifcif 4307  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273  cn 11374  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  Abelcabl 18580  Unitcui 19026  ℤ/nczn 20247  DChrcdchr 25409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-imas 16554  df-qus 16555  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-nsg 17976  df-eqg 17977  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-rsp 19572  df-2idl 19629  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zn 20251  df-dchr 25410
This theorem is referenced by:  dchrinv  25438  dchr1re  25440  dchrsum2  25445  rpvmasumlem  25628  rpvmasum2  25653
  Copyright terms: Public domain W3C validator