Theorem dchr1 27316

Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchr1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchr1	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem dchr1

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
7		dchr1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchr1cl 27310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
9		eleq1w 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
10	9	ifbid 4554	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
11	10	cbvmptv 5261	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8	dchrmullid 27311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
14	1	dchrabl 27313	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablgrp 19818	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
16		dchr1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
17	3, 12, 16	isgrpid2 19007	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
18	7, 14, 15, 17	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
19	8, 13, 18	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐴)
21		dchr1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
23	20, 22	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23	iftrued 4539	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = 1)
25	4, 5	unitss 20393	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
26	25, 21	sselid 3993	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
27		1cnd 11254	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28	19, 24, 26, 27	fvmptd 7023	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ℕcn 12264  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  Abelcabl 19814  Unitcui 20372  ℤ/nℤczn 21531  DChrcdchr 27291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zn 21535  df-dchr 27292

This theorem is referenced by:  dchrinv  27320  dchr1re  27322  dchrsum2  27327  rpvmasumlem  27546  rpvmasum2  27571