Theorem dchr1 27614

Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchr1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchr1	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem dchr1

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
7		dchr1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchr1cl 27608	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
9		eleq1w 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
10	9	ifbid 4509	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
11	10	cbvmptv 5212	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8	dchrmullid 27609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
14	1	dchrabl 27611	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablgrp 20029	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
16		dchr1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
17	3, 12, 16	isgrpid2 19216	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
18	7, 14, 15, 17	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
19	8, 13, 18	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐴)
21		dchr1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
23	20, 22	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23	iftrued 4493	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = 1)
25	4, 5	unitss 20636	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
26	25, 21	sselid 3911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
27		1cnd 11329	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28	19, 24, 26, 27	fvmptd 7024	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228  ℕcn 12362  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  Abelcabl 20025  Unitcui 20615  ℤ/nℤczn 21838  DChrcdchr 27589

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-0g 17641  df-imas 17709  df-qus 17710  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-nsg 19363  df-eqg 19364  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-2idl 21573  df-cnfld 21709  df-zring 21783  df-zn 21842  df-dchr 27590

This theorem is used by:  dchrinv  27618  dchr1re  27620  dchrsum2  27625  rpvmasumlem  27844  rpvmasum2  27869