Theorem dchr1 27175

Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchr1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchr1	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem dchr1

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
7		dchr1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchr1cl 27169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
9		eleq1w 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
10	9	ifbid 4515	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
11	10	cbvmptv 5214	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8	dchrmullid 27170	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
14	1	dchrabl 27172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablgrp 19722	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
16		dchr1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
17	3, 12, 16	isgrpid2 18915	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
18	7, 14, 15, 17	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
19	8, 13, 18	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐴)
21		dchr1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
23	20, 22	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23	iftrued 4499	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = 1)
25	4, 5	unitss 20292	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
26	25, 21	sselid 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
27		1cnd 11176	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28	19, 24, 26, 27	fvmptd 6978	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076  ℕcn 12193  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  Abelcabl 19718  Unitcui 20271  ℤ/nℤczn 21419  DChrcdchr 27150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-2idl 21167  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zn 21423  df-dchr 27151

This theorem is referenced by:  dchrinv  27179  dchr1re  27181  dchrsum2  27186  rpvmasumlem  27405  rpvmasum2  27430