Theorem unitgrpid 19960

Description: The identity of the multiplicative group is 1_r. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
unitgrp.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem unitgrpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitmulcl.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		unitgrp.3	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	1unit 19949	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4, 1	unitss 19951	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
6		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
7	6, 4, 2	ringidss 19865	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘𝐺))
8	5, 7	mp3an2 1449	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘𝐺))
9	3, 8	mpdan 685	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961   ↾_s cress 16990  0_gc0g 17199  mulGrpcmgp 19769  1_rcur 19786  Ringcrg 19832  Unitcui 19930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-0g 17201  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-grp 18629  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-oppr 19911  df-dvdsr 19932  df-unit 19933

This theorem is referenced by:  unitlinv  19968  unitrinv  19969  drngid  20054  invrvald  21874  dchrabs  26457  dchrptlem2  26462  dchrptlem3  26463  ringinvval  31538  idomodle  41217  proot1ex  41222