Theorem unitgrpid 20005

Description: The identity of the multiplicative group is 1_r. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
unitgrp.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem unitgrpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitmulcl.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		unitgrp.3	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	1unit 19994	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4, 1	unitss 19996	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
6		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
7	6, 4, 2	ringidss 19910	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘𝐺))
8	5, 7	mp3an2 1449	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘𝐺))
9	3, 8	mpdan 685	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  Basecbs 17009   ↾_s cress 17038  0_gc0g 17247  mulGrpcmgp 19814  1_rcur 19831  Ringcrg 19877  Unitcui 19975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-tpos 8116  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-oppr 19956  df-dvdsr 19977  df-unit 19978

This theorem is referenced by:  unitlinv  20013  unitrinv  20014  drngid  20109  invrvald  21930  dchrabs  26513  dchrptlem2  26518  dchrptlem3  26519  ringinvval  31774  idomodle  41335  proot1ex  41340