Theorem dchrresb 27288

Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrresb.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrresb.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrresb.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrresb.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrresb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrresb.Y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrresb	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈) = (𝑌 ↾ 𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dchrresb

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrresb.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrresb.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrresb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrresb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7	6	ffnd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (Base‘𝑍))
8		dchrresb.Y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
9	1, 2, 3, 4, 8	dchrf 27271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
10	9	ffnd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn (Base‘𝑍))
11		dchrresb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
12	4, 11	unitss 20358	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
13		fvreseq 7053	. . . 4 ⊢ (((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → ((𝑋 ↾ 𝑈) = (𝑌 ↾ 𝑈) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 (𝑋‘𝑘) = (𝑌‘𝑘)))
14	12, 13	mpan2 689	. . 3 ⊢ ((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) → ((𝑋 ↾ 𝑈) = (𝑌 ↾ 𝑈) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 (𝑋‘𝑘) = (𝑌‘𝑘)))
15	7, 10, 14	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈) = (𝑌 ↾ 𝑈) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 (𝑋‘𝑘) = (𝑌‘𝑘)))
16	1, 2, 3, 11, 5, 8	dchreq 27287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑈 (𝑋‘𝑘) = (𝑌‘𝑘)))
17	15, 16	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈) = (𝑌 ↾ 𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ⊆ wss 3947   ↾ cres 5684   Fn wfn 6549  ‘cfv 6554  ℂcc 11156  Basecbs 17213  Unitcui 20337  ℤ/nℤczn 21492  DChrcdchr 27261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237  ax-mulf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-ec 8736  df-qs 8740  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-imas 17523  df-qus 17524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-nsg 19118  df-eqg 19119  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-rsp 21198  df-2idl 21239  df-cnfld 21344  df-zring 21437  df-zn 21496  df-dchr 27262

This theorem is referenced by: (None)