Theorem rhmunitinv 20282

Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rhmunitinv	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl1 20247	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
4		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	unitlinv 20199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (1r‘𝑅))
7	1, 6	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (1r‘𝑅))
8	7	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
9		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10, 2	unitss 20182	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
12	2, 3	unitinvcl 20196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 12	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
14	11, 13	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
16	11, 15	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18	10, 4, 17	rhmmul 20256	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
19	9, 14, 16, 18	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
20		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
21	5, 20	rhm1 20259	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
23	8, 19, 22	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
24		rhmrcl2 20248	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26		elrhmunit 20281	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
29	27, 28, 17, 20	unitlinv 20199	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
30	25, 26, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
31	23, 30	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
32		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
33	27, 32	unitgrp 20189	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
34	24, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
35	34	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36		elrhmunit 20281	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
37	13, 36	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
38	27, 28	unitinvcl 20196	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
39	25, 26, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
40	27, 32	unitgrpbas 20188	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑆) ∈ V
42		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
43	42, 17	mgpplusg 19985	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
44	32, 43	ressplusg 17231	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r‘𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
45	41, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
46	40, 45	grprcan 18854	. . 3 ⊢ ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))))
47	35, 37, 39, 26, 46	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))))
48	31, 47	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Grpcgrp 18815  mulGrpcmgp 19981  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  inv_rcinvr 20193   RingHom crh 20240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-rnghom 20243

This theorem is referenced by:  fldhmf1  40943