Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmunitinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmunitinv 31240
Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rhmunitinv ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 19739 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2737 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
62, 3, 4, 5unitlinv 19695 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
71, 6sylan 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
87fveq2d 6721 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
9 simpl 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1110, 2unitss 19678 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
122, 3unitinvcl 19692 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
131, 12sylan 583 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
1411, 13sseldi 3899 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
1611, 15sseldi 3899 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1810, 4, 17rhmmul 19747 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
199, 14, 16, 18syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
20 eqid 2737 . . . . . 6 (1r𝑆) = (1r𝑆)
215, 20rhm1 19750 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
2221adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
238, 19, 223eqtr3d 2785 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
24 rhmrcl2 19740 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2524adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26 elrhmunit 31238 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27 eqid 2737 . . . . 5 (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28 eqid 2737 . . . . 5 (invr𝑆) = (invr𝑆)
2927, 28, 17, 20unitlinv 19695 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3025, 26, 29syl2anc 587 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3123, 30eqtr4d 2780 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
32 eqid 2737 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
3327, 32unitgrp 19685 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3424, 33syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3534adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36 elrhmunit 31238 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3713, 36syldan 594 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3827, 28unitinvcl 19692 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3925, 26, 38syl2anc 587 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
4027, 32unitgrpbas 19684 . . . 4 (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41 fvex 6730 . . . . 5 (Unit‘𝑆) ∈ V
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4342, 17mgpplusg 19508 . . . . . 6 (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
4432, 43ressplusg 16834 . . . . 5 ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
4640, 45grprcan 18401 . . 3 ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4735, 37, 39, 26, 46syl13anc 1374 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4831, 47mpbid 235 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  s cress 16784  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  Grpcgrp 18365  mulGrpcmgp 19504  1rcur 19516  Ringcrg 19562  Unitcui 19657  invrcinvr 19689   RingHom crh 19732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-ghm 18620  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-rnghom 19735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator