MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmunitinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmunitinv 20528
Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rhmunitinv ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 20493 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2735 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2735 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
62, 3, 4, 5unitlinv 20410 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
71, 6sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
87fveq2d 6911 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
9 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1110, 2unitss 20393 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
122, 3unitinvcl 20407 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
131, 12sylan 580 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
1411, 13sselid 3993 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
1611, 15sselid 3993 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1810, 4, 17rhmmul 20503 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
199, 14, 16, 18syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
20 eqid 2735 . . . . . 6 (1r𝑆) = (1r𝑆)
215, 20rhm1 20506 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
238, 19, 223eqtr3d 2783 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
24 rhmrcl2 20494 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2524adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26 elrhmunit 20527 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27 eqid 2735 . . . . 5 (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28 eqid 2735 . . . . 5 (invr𝑆) = (invr𝑆)
2927, 28, 17, 20unitlinv 20410 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3025, 26, 29syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3123, 30eqtr4d 2778 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
32 eqid 2735 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
3327, 32unitgrp 20400 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3424, 33syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3534adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36 elrhmunit 20527 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3713, 36syldan 591 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3827, 28unitinvcl 20407 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3925, 26, 38syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
4027, 32unitgrpbas 20399 . . . 4 (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41 fvex 6920 . . . . 5 (Unit‘𝑆) ∈ V
42 eqid 2735 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4342, 17mgpplusg 20156 . . . . . 6 (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
4432, 43ressplusg 17336 . . . . 5 ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
4640, 45grprcan 19004 . . 3 ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4735, 37, 39, 26, 46syl13anc 1371 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4831, 47mpbid 232 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Grpcgrp 18964  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  Unitcui 20372  invrcinvr 20404   RingHom crh 20486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489
This theorem is referenced by:  fldhmf1  42072
  Copyright terms: Public domain W3C validator