Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmunitinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmunitinv 30155
Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rhmunitinv ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 18922 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2771 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2771 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2771 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
62, 3, 4, 5unitlinv 18878 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
71, 6sylan 569 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
87fveq2d 6334 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
9 simpl 468 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1110, 2unitss 18861 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
122, 3unitinvcl 18875 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
131, 12sylan 569 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
1411, 13sseldi 3750 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
1611, 15sseldi 3750 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2771 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1810, 4, 17rhmmul 18930 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
199, 14, 16, 18syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
20 eqid 2771 . . . . . 6 (1r𝑆) = (1r𝑆)
215, 20rhm1 18933 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
2221adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
238, 19, 223eqtr3d 2813 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
24 rhmrcl2 18923 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2524adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26 elrhmunit 30153 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27 eqid 2771 . . . . 5 (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28 eqid 2771 . . . . 5 (invr𝑆) = (invr𝑆)
2927, 28, 17, 20unitlinv 18878 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3025, 26, 29syl2anc 573 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3123, 30eqtr4d 2808 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
32 eqid 2771 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
3327, 32unitgrp 18868 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3424, 33syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3534adantr 466 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36 elrhmunit 30153 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3713, 36syldan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3827, 28unitinvcl 18875 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3925, 26, 38syl2anc 573 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
4027, 32unitgrpbas 18867 . . . 4 (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41 fvex 6340 . . . . 5 (Unit‘𝑆) ∈ V
42 eqid 2771 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4342, 17mgpplusg 18694 . . . . . 6 (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
4432, 43ressplusg 16194 . . . . 5 ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
4640, 45grprcan 17656 . . 3 ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4735, 37, 39, 26, 46syl13anc 1478 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4831, 47mpbid 222 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cfv 6029  (class class class)co 6791  Basecbs 16057  s cress 16058  +gcplusg 16142  .rcmulr 16143  Grpcgrp 17623  mulGrpcmgp 18690  1rcur 18702  Ringcrg 18748  Unitcui 18840  invrcinvr 18872   RingHom crh 18915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-tpos 7502  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-ghm 17859  df-mgp 18691  df-ur 18703  df-ring 18750  df-oppr 18824  df-dvdsr 18842  df-unit 18843  df-invr 18873  df-rnghom 18918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator