Theorem rhmunitinv 20482

Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rhmunitinv	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl1 20450	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	unitlinv 20367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (1r‘𝑅))
7	1, 6	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (1r‘𝑅))
8	7	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
9		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10, 2	unitss 20350	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
12	2, 3	unitinvcl 20364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 12	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
14	11, 13	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
16	11, 15	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18	10, 4, 17	rhmmul 20459	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
19	9, 14, 16, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
21	5, 20	rhm1 20462	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
23	8, 19, 22	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
24		rhmrcl2 20451	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26		elrhmunit 20481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
29	27, 28, 17, 20	unitlinv 20367	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
30	25, 26, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
31	23, 30	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
32		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
33	27, 32	unitgrp 20357	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
34	24, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36		elrhmunit 20481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
37	13, 36	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
38	27, 28	unitinvcl 20364	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
39	25, 26, 38	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
40	27, 32	unitgrpbas 20356	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41		fvex 6848	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑆) ∈ V
42		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
43	42, 17	mgpplusg 20119	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
44	32, 43	ressplusg 17248	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r‘𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
45	41, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
46	40, 45	grprcan 18943	. . 3 ⊢ ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))))
47	35, 37, 39, 26, 46	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))))
48	31, 47	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  Grpcgrp 18903  mulGrpcmgp 20115  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  Unitcui 20329  inv_rcinvr 20361   RingHom crh 20443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rhm 20446

This theorem is referenced by:  fxpsdrg  33254  fldhmf1  42546