Theorem rhmunitinv 20594

Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rhmunitinv	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl1 20558	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	unitlinv 20475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (1r‘𝑅))
7	1, 6	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (1r‘𝑅))
8	7	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
9		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10, 2	unitss 20458	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
12	2, 3	unitinvcl 20472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
13	1, 12	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
14	11, 13	sselid 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
16	11, 15	sselid 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18	10, 4, 17	rhmmul 20568	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
19	9, 14, 16, 18	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝐴)(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
20		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
21	5, 20	rhm1 20571	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
22	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
23	8, 19, 22	3eqtr3d 2812	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
24		rhmrcl2 20559	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
25	24	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26		elrhmunit 20593	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
29	27, 28, 17, 20	unitlinv 20475	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
30	25, 26, 29	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (1r‘𝑆))
31	23, 30	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
32		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
33	27, 32	unitgrp 20465	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
34	24, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
35	34	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36		elrhmunit 20593	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
37	13, 36	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
38	27, 28	unitinvcl 20472	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
39	25, 26, 38	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
40	27, 32	unitgrpbas 20464	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑆) ∈ V
42		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
43	42, 17	mgpplusg 20220	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
44	32, 43	ressplusg 17344	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r‘𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
45	41, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
46	40, 45	grprcan 19040	. . 3 ⊢ ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))))
47	35, 37, 39, 26, 46	syl13anc 1397	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴))))
48	31, 47	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝐴)) = ((invr‘𝑆)‘(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  Grpcgrp 19000  mulGrpcmgp 20216  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  Unitcui 20437  inv_rcinvr 20469   RingHom crh 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-ghm 19284  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-rhm 20554

This theorem is referenced by:  fxpsdrg  33436  fldhmf1  42781