MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmunitinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmunitinv 20512
Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rhmunitinv ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 20477 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2736 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
62, 3, 4, 5unitlinv 20394 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
71, 6sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
87fveq2d 6909 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
9 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1110, 2unitss 20377 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
122, 3unitinvcl 20391 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
131, 12sylan 580 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
1411, 13sselid 3980 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
1611, 15sselid 3980 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1810, 4, 17rhmmul 20487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
199, 14, 16, 18syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
20 eqid 2736 . . . . . 6 (1r𝑆) = (1r𝑆)
215, 20rhm1 20490 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
238, 19, 223eqtr3d 2784 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
24 rhmrcl2 20478 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2524adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26 elrhmunit 20511 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27 eqid 2736 . . . . 5 (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28 eqid 2736 . . . . 5 (invr𝑆) = (invr𝑆)
2927, 28, 17, 20unitlinv 20394 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3025, 26, 29syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3123, 30eqtr4d 2779 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
32 eqid 2736 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
3327, 32unitgrp 20384 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3424, 33syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3534adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36 elrhmunit 20511 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3713, 36syldan 591 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3827, 28unitinvcl 20391 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3925, 26, 38syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
4027, 32unitgrpbas 20383 . . . 4 (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41 fvex 6918 . . . . 5 (Unit‘𝑆) ∈ V
42 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4342, 17mgpplusg 20142 . . . . . 6 (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
4432, 43ressplusg 17335 . . . . 5 ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
4640, 45grprcan 18992 . . 3 ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4735, 37, 39, 26, 46syl13anc 1373 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4831, 47mpbid 232 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Grpcgrp 18952  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  Unitcui 20356  invrcinvr 20388   RingHom crh 20470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-rhm 20473
This theorem is referenced by:  fldhmf1  42092
  Copyright terms: Public domain W3C validator