MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinv 26625
Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrabs.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrabs.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinv.i 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrinv (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 eqid 2737 . . . . . . . 8 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrabs.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
5 dchrabs.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
6 cjf 14996 . . . . . . . . . 10 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
81, 2, 3, 7, 5dchrf 26606 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9 fco 6697 . . . . . . . . . 10 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝑋):(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
106, 8, 9sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝑋):(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
11 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
121, 3dchrrcl 26604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
135, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
141, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 26602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))))
155, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))))))
1615simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
1716simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
1817r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
1918r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
2019anasss 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
2120fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))) = (βˆ—β€˜((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
228adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
237, 11unitss 20096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
24 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2523, 24sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2622, 25ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
27 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2823, 27sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2922, 28ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
3026, 29cjmuld 15113 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (βˆ—β€˜((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦))))
3121, 30eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))) = ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦))))
3213nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
332zncrng 20967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing)
34 crngring 19983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
37 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
387, 37ringcl 19988 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3936, 25, 28, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
40 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))))
4122, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))))
42 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
4322, 25, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
44 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦)))
4522, 28, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦)))
4643, 45oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)) = ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦))))
4731, 41, 463eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)))
4847ralrimivva 3198 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
507, 49ringidcl 19996 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
5135, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
52 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
538, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
5416simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1)
5554fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) = (βˆ—β€˜1))
56 1re 11162 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
57 cjre 15031 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ—β€˜1) = 1
5955, 58eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) = 1)
6053, 59eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1)
6116simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))))
628, 42sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
63 cj0 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ—β€˜0) = 0
6463eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (βˆ—β€˜0)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 0 = (βˆ—β€˜0))
6662, 65eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (βˆ—β€˜0)))
678ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
68 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„‚
69 cj11 15054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (βˆ—β€˜0) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7067, 68, 69sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (βˆ—β€˜0) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7166, 70bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7271necon3bid 2989 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0))
7372imbi1d 342 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
7473ralbidva 3173 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
7561, 74mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))))
7648, 60, 753jca 1129 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
771, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 26602 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((βˆ— ∘ 𝑋):(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))))
7810, 76, 77mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
791, 2, 3, 4, 5, 78dchrmul 26612 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋)))
8079adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋)))
8180fveq1d 6849 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯))
8223sseli 3945 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
8382, 62sylan2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
8483oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
8582, 67sylan2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8685absvalsqd 15334 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))↑2) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
875adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
88 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
891, 3, 87, 2, 11, 88dchrabs 26624 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = 1)
9089oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))↑2) = (1↑2))
91 sq1 14106 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
9290, 91eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))↑2) = 1)
9384, 86, 923eqtr2d 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)) = 1)
948adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9594ffnd 6674 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
9610ffnd 6674 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝑋) Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
9796adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (βˆ— ∘ 𝑋) Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
98 fvexd 6862 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
9982adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
100 fnfvof 7639 . . . . . . 7 (((𝑋 Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ (βˆ— ∘ 𝑋) Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ∧ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)))
10195, 97, 98, 99, 100syl22anc 838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)))
102 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
10313adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1041, 2, 102, 11, 103, 88dchr1 26621 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 1)
10593, 101, 1043eqtr4d 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
10681, 105eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
107106ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
1081, 2, 3, 4, 5, 78dchrmulcl 26613 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
1091dchrabl 26618 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
110 ablgrp 19574 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11113, 109, 1103syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
1123, 102grpidcl 18785 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
113111, 112syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
1141, 2, 3, 11, 108, 113dchreq 26622 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
115107, 114mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ))
116 dchrinv.i . . . 4 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
1173, 4, 102, 116grpinvid1 18809 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (βˆ— ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ)))
118111, 5, 78, 117syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ)))
119115, 118mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β†‘cexp 13974  βˆ—ccj 14988  abscabs 15126  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  Abelcabl 19570  1rcur 19920  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  Unitcui 20075  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchr2sum  26637  dchrisum0re  26877
  Copyright terms: Public domain W3C validator