Theorem dchrinv 27618

Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		dchrabs.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6		cjf 15300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
8	1, 2, 3, 7, 5	dchrf 27599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9		fco 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	1, 3	dchrrcl 27597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	5, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 27595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
15	5, 14	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
16	15	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
17	16	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
18	17	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
19	18	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
20	19	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
22	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
23	7, 11	unitss 20636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
25	23, 24	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
26	22, 25	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
27		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
28	23, 27	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
29	22, 28	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
30	26, 29	cjmuld 15417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
31	21, 30	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
32	13	nnnn0d 12694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	2	zncrng 21880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34		crngring 20502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
38	7, 37	ringcl 20507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
39	36, 25, 28, 38	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40		fvco3 7008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
41	22, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42		fvco3 7008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
43	22, 25, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
44		fvco3 7008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
45	22, 28, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
46	43, 45	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
47	31, 41, 46	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
48	47	ralrimivva 3209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
50	7, 49	ringidcl 20524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
51	35, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52		fvco3 7008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
53	8, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
54	16	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
55	54	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56		1re 11335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		cjre 15335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘1) = 1
59	55, 58	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
60	53, 59	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
61	16	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
62	8, 42	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
63		cj0 15354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∗‘0) = 0
64	63	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (∗‘0)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
66	62, 65	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0)))
67	8	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
68		0cn 11325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
69		cj11 15358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
70	67, 68, 69	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
71	66, 70	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	71	necon3bid 3003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
73	72	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
74	73	ralbidva 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
75	61, 74	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
76	48, 60, 75	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
77	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 27595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
78	10, 76, 77	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
79	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmul 27605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
80	79	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
81	80	fveq1d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
82	23	sseli 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
83	82, 62	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
84	83	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
85	82, 67	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
86	85	absvalsqd 15641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
87	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
88		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
89	1, 3, 87, 2, 11, 88	dchrabs 27617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋‘𝑥)) = 1)
90	89	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = (1↑2))
91		sq1 14365	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = 1)
93	84, 86, 92	3eqtr2d 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
94	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
95	94	ffnd 6732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
96	10	ffnd 6732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
97	96	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98		fvexd 6923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
99	82	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100		fnfvof 7734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
101	95, 97, 98, 99, 100	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
102		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
103	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
104	1, 2, 102, 11, 103, 88	dchr1 27614	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g‘𝐺)‘𝑥) = 1)
105	93, 101, 104	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
106	81, 105	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
107	106	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
108	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmulcl 27606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
109	1	dchrabl 27611	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
110		ablgrp 20029	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
111	13, 109, 110	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
112	3, 102	grpidcl 19205	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
113	111, 112	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
114	1, 2, 3, 11, 108, 113	dchreq 27615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥)))
115	107, 114	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺))
116		dchrinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
117	3, 4, 102, 116	grpinvid1 19231	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
118	111, 5, 78, 117	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
119	115, 118	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ↑cexp 14231  ∗ccj 15292  abscabs 15430  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  inv_gcminusg 19174  Abelcabl 20025  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  Unitcui 20615  ℤ/nℤczn 21838  DChrcdchr 27589

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-dvds 16452  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-qus 17710  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-nsg 19363  df-eqg 19364  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-od 19772  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-2idl 21573  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-zring 21783  df-zrh 21839  df-zn 21842  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914  df-cxp 26915  df-dchr 27590

This theorem is used by:  dchr2sum  27630  dchrisum0re  27870