Theorem dchrinv 27495

Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		dchrabs.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6		cjf 15193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
8	1, 2, 3, 7, 5	dchrf 27476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9		fco 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	1, 3	dchrrcl 27474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	5, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 27472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
15	5, 14	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
16	15	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
17	16	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
18	17	r19.21bi 3256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
19	18	r19.21bi 3256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
20	19	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
22	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
23	7, 11	unitss 20518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
25	23, 24	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
26	22, 25	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
27		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
28	23, 27	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
29	22, 28	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
30	26, 29	cjmuld 15310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
31	21, 30	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
32	13	nnnn0d 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	2	zncrng 21758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34		crngring 20385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
38	7, 37	ringcl 20390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
39	36, 25, 28, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40		fvco3 6982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
41	22, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42		fvco3 6982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
43	22, 25, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
44		fvco3 6982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
45	22, 28, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
46	43, 45	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
47	31, 41, 46	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
48	47	ralrimivva 3207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
50	7, 49	ringidcl 20407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
51	35, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52		fvco3 6982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
53	8, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
54	16	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
55	54	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56		1re 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		cjre 15228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘1) = 1
59	55, 58	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
60	53, 59	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
61	16	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
62	8, 42	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
63		cj0 15247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∗‘0) = 0
64	63	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (∗‘0)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
66	62, 65	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0)))
67	8	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
68		0cn 11225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
69		cj11 15251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
70	67, 68, 69	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
71	66, 70	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	71	necon3bid 3001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
73	72	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
74	73	ralbidva 3185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
75	61, 74	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
76	48, 60, 75	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
77	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 27472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
78	10, 76, 77	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
79	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmul 27482	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
80	79	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
81	80	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
82	23	sseli 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
83	82, 62	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
84	83	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
85	82, 67	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
86	85	absvalsqd 15534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
87	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
88		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
89	1, 3, 87, 2, 11, 88	dchrabs 27494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋‘𝑥)) = 1)
90	89	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = (1↑2))
91		sq1 14261	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = 1)
93	84, 86, 92	3eqtr2d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
94	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
95	94	ffnd 6707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
96	10	ffnd 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
97	96	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
99	82	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100		fnfvof 7698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
101	95, 97, 98, 99, 100	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
102		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
103	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
104	1, 2, 102, 11, 103, 88	dchr1 27491	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g‘𝐺)‘𝑥) = 1)
105	93, 101, 104	3eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
106	81, 105	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
107	106	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
108	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmulcl 27483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
109	1	dchrabl 27488	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
110		ablgrp 19913	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
111	13, 109, 110	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
112	3, 102	grpidcl 19090	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
113	111, 112	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
114	1, 2, 3, 11, 108, 113	dchreq 27492	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥)))
115	107, 114	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺))
116		dchrinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
117	3, 4, 102, 116	grpinvid1 19116	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
118	111, 5, 78, 117	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
119	115, 118	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ↑cexp 14127  ∗ccj 15185  abscabs 15323  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  inv_gcminusg 19059  Abelcabl 19909  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  Unitcui 20497  ℤ/nℤczn 21716  DChrcdchr 27466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-dvds 16347  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-qus 17599  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-od 19656  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-2idl 21453  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-zn 21720  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-cxp 26792  df-dchr 27467

This theorem is used by:  dchr2sum  27507  dchrisum0re  27747