Theorem dchrinv 25845

Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		dchrabs.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6		cjf 14455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
7		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
8	1, 2, 3, 7, 5	dchrf 25826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9		fco 6505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	1, 3	dchrrcl 25824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 25822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
15	5, 14	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
16	15	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
17	16	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
18	17	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
19	18	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
20	19	anasss 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
22	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
23	7, 11	unitss 19406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
25	23, 24	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
26	22, 25	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
27		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
28	23, 27	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
29	22, 28	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
30	26, 29	cjmuld 14572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
31	21, 30	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
32	13	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	2	zncrng 20236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34		crngring 19302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
38	7, 37	ringcl 19307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
39	36, 25, 28, 38	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40		fvco3 6737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
41	22, 39, 40	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42		fvco3 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
43	22, 25, 42	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
44		fvco3 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
45	22, 28, 44	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
46	43, 45	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
47	31, 41, 46	3eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
48	47	ralrimivva 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
50	7, 49	ringidcl 19314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
51	35, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52		fvco3 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
53	8, 51, 52	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
54	16	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
55	54	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56		1re 10630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		cjre 14490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘1) = 1
59	55, 58	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
60	53, 59	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
61	16	simp3d 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
62	8, 42	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
63		cj0 14509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∗‘0) = 0
64	63	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (∗‘0)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
66	62, 65	eqeq12d 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0)))
67	8	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
68		0cn 10622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
69		cj11 14513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
70	67, 68, 69	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
71	66, 70	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	71	necon3bid 3031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
73	72	imbi1d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
74	73	ralbidva 3161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
75	61, 74	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
76	48, 60, 75	3jca 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
77	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 25822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
78	10, 76, 77	mpbir2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
79	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmul 25832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
80	79	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
81	80	fveq1d 6647	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
82	23	sseli 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
83	82, 62	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
84	83	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
85	82, 67	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
86	85	absvalsqd 14794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
87	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
88		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
89	1, 3, 87, 2, 11, 88	dchrabs 25844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋‘𝑥)) = 1)
90	89	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = (1↑2))
91		sq1 13554	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	eqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = 1)
93	84, 86, 92	3eqtr2d 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
94	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
95	94	ffnd 6488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
96	10	ffnd 6488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
97	96	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98		fvexd 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
99	82	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100		fnfvof 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
101	95, 97, 98, 99, 100	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
102		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
103	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
104	1, 2, 102, 11, 103, 88	dchr1 25841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g‘𝐺)‘𝑥) = 1)
105	93, 101, 104	3eqtr4d 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
106	81, 105	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
107	106	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
108	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmulcl 25833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
109	1	dchrabl 25838	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
110		ablgrp 18903	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
111	13, 109, 110	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
112	3, 102	grpidcl 18123	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
113	111, 112	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
114	1, 2, 3, 11, 108, 113	dchreq 25842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥)))
115	107, 114	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺))
116		dchrinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
117	3, 4, 102, 116	grpinvid1 18146	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
118	111, 5, 78, 117	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
119	115, 118	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∘ ccom 5523   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425  ∗ccj 14447  abscabs 14585  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096  Abelcabl 18899  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  Unitcui 19385  ℤ/nℤczn 20196  DChrcdchr 25816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-qus 16774  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-od 18648  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zn 20200  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-cxp 25149  df-dchr 25817

This theorem is referenced by:  dchr2sum  25857  dchrisum0re  26097