MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinv 26609
Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrinv (𝜑 → (𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 eqid 2736 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 dchrabs.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
6 cjf 14989 . . . . . . . . . 10 ∗:ℂ⟶ℂ
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
81, 2, 3, 7, 5dchrf 26590 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9 fco 6692 . . . . . . . . . 10 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
106, 8, 9sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
121, 3dchrrcl 26588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
135, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
141, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 26586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
155, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
1615simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
1716simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
1817r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
1918r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
2019anasss 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
2120fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
228adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
237, 11unitss 20089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2523, 24sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2622, 25ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
27 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2823, 27sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2922, 28ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
3026, 29cjmuld 15106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
3121, 30eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
3213nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
332zncrng 20951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34 crngring 19976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
387, 37ringcl 19981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3936, 25, 28, 38syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
4122, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
4322, 25, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
44 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋𝑦)))
4522, 28, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋𝑦)))
4643, 45oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
4731, 41, 463eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
4847ralrimivva 3197 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
507, 49ringidcl 19989 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5135, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
538, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
5416simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
5554fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56 1re 11155 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
57 cjre 15024 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘1) = 1
5955, 58eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
6053, 59eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
6116simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
628, 42sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
63 cj0 15043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∗‘0) = 0
6463eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (∗‘0)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
6662, 65eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0)))
678ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
68 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
69 cj11 15047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7067, 68, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7166, 70bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7271necon3bid 2988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑥) ≠ 0))
7372imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
7473ralbidva 3172 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
7561, 74mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
7648, 60, 753jca 1128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
771, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 26586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
7810, 76, 77mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
791, 2, 3, 4, 5, 78dchrmul 26596 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋f · (∗ ∘ 𝑋)))
8079adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋f · (∗ ∘ 𝑋)))
8180fveq1d 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
8223sseli 3940 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8382, 62sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
8483oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋𝑥) · (∗‘(𝑋𝑥))))
8582, 67sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
8685absvalsqd 15327 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = ((𝑋𝑥) · (∗‘(𝑋𝑥))))
875adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋𝐷)
88 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
891, 3, 87, 2, 11, 88dchrabs 26608 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋𝑥)) = 1)
9089oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = (1↑2))
91 sq1 14099 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
9290, 91eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = 1)
9384, 86, 923eqtr2d 2782 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
948adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9594ffnd 6669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9610ffnd 6669 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9796adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98 fvexd 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
9982adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100 fnfvof 7634 . . . . . . 7 (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
10195, 97, 98, 99, 100syl22anc 837 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
102 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
10313adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1041, 2, 102, 11, 103, 88dchr1 26605 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g𝐺)‘𝑥) = 1)
10593, 101, 1043eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
10681, 105eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
107106ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
1081, 2, 3, 4, 5, 78dchrmulcl 26597 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
1091dchrabl 26602 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
110 ablgrp 19567 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11113, 109, 1103syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1123, 102grpidcl 18778 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
113111, 112syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
1141, 2, 3, 11, 108, 113dchreq 26606 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥)))
115107, 114mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺))
116 dchrinv.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
1173, 4, 102, 116grpinvid1 18802 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺)))
118111, 5, 78, 117syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺)))
119115, 118mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cexp 13967  ccj 14981  abscabs 15119  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  Abelcabl 19563  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchr2sum  26621  dchrisum0re  26861
  Copyright terms: Public domain W3C validator