MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinv 27181
Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrabs.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrabs.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinv.i 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrinv (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 eqid 2727 . . . . . . . 8 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrabs.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2727 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
5 dchrabs.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
6 cjf 15075 . . . . . . . . . 10 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
7 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
81, 2, 3, 7, 5dchrf 27162 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9 fco 6741 . . . . . . . . . 10 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝑋):(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
106, 8, 9sylancr 586 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝑋):(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
11 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
121, 3dchrrcl 27160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
135, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
141, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 27158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))))
155, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))))))
1615simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
1716simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
1817r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
1918r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
2019anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
2120fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))) = (βˆ—β€˜((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
228adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
237, 11unitss 20304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
24 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2523, 24sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2622, 25ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
27 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2823, 27sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
2922, 28ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
3026, 29cjmuld 15192 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (βˆ—β€˜((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦))))
3121, 30eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))) = ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦))))
3213nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
332zncrng 21465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing)
34 crngring 20176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
37 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
387, 37ringcl 20181 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3936, 25, 28, 38syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
40 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))))
4122, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦))))
42 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
4322, 25, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
44 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦)))
4522, 28, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦)))
4643, 45oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)) = ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘¦))))
4731, 41, 463eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)))
4847ralrimivva 3195 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)))
49 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
507, 49ringidcl 20191 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
5135, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
52 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
538, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
5416simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1)
5554fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) = (βˆ—β€˜1))
56 1re 11236 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
57 cjre 15110 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ—β€˜1) = 1
5955, 58eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) = 1)
6053, 59eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1)
6116simp3d 1142 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))))
628, 42sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
63 cj0 15129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ—β€˜0) = 0
6463eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (βˆ—β€˜0)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 0 = (βˆ—β€˜0))
6662, 65eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (βˆ—β€˜0)))
678ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
68 0cn 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„‚
69 cj11 15133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (βˆ—β€˜0) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7067, 68, 69sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (βˆ—β€˜0) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7166, 70bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7271necon3bid 2980 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0))
7372imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
7473ralbidva 3170 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
7561, 74mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))))
7648, 60, 753jca 1126 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))
771, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 27158 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((βˆ— ∘ 𝑋):(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(π‘₯(.rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))𝑦)) = (((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))))))
7810, 76, 77mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
791, 2, 3, 4, 5, 78dchrmul 27168 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋)))
8079adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋)))
8180fveq1d 6893 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯))
8223sseli 3974 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
8382, 62sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
8483oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
8582, 67sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8685absvalsqd 15413 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))↑2) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (βˆ—β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
875adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
88 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
891, 3, 87, 2, 11, 88dchrabs 27180 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = 1)
9089oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))↑2) = (1↑2))
91 sq1 14182 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
9290, 91eqtrdi 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π‘₯))↑2) = 1)
9384, 86, 923eqtr2d 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)) = 1)
948adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9594ffnd 6717 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
9610ffnd 6717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝑋) Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
9796adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (βˆ— ∘ 𝑋) Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
98 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
9982adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
100 fnfvof 7696 . . . . . . 7 (((𝑋 Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ (βˆ— ∘ 𝑋) Fn (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) ∧ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)))
10195, 97, 98, 99, 100syl22anc 838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· ((βˆ— ∘ 𝑋)β€˜π‘₯)))
102 eqid 2727 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
10313adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1041, 2, 102, 11, 103, 88dchr1 27177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = 1)
10593, 101, 1043eqtr4d 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· (βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
10681, 105eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ ((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
107106ralrimiva 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
1081, 2, 3, 4, 5, 78dchrmulcl 27169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
1091dchrabl 27174 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
110 ablgrp 19731 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11113, 109, 1103syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
1123, 102grpidcl 18913 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
113111, 112syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
1141, 2, 3, 11, 108, 113dchreq 27178 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))((𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋))β€˜π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
115107, 114mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ))
116 dchrinv.i . . . 4 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
1173, 4, 102, 116grpinvid1 18939 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (βˆ— ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ)))
118111, 5, 78, 117syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+gβ€˜πΊ)(βˆ— ∘ 𝑋)) = (0gβ€˜πΊ)))
119115, 118mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (βˆ— ∘ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   Β· cmul 11135  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β†‘cexp 14050  βˆ—ccj 15067  abscabs 15205  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  invgcminusg 18882  Abelcabl 19727  1rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  Unitcui 20283  β„€/nβ„€czn 21415  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchr2sum  27193  dchrisum0re  27433
  Copyright terms: Public domain W3C validator