Theorem dchrinv 27192

Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		dchrabs.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6		cjf 15003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
7		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
8	1, 2, 3, 7, 5	dchrf 27173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9		fco 6671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	1, 3	dchrrcl 27171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 27169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
15	5, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
16	15	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
17	16	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
18	17	r19.21bi 3222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
19	18	r19.21bi 3222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
20	19	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
22	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
23	7, 11	unitss 20287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
25	23, 24	sselid 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
26	22, 25	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
27		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
28	23, 27	sselid 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
29	22, 28	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
30	26, 29	cjmuld 15120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
31	21, 30	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
32	13	nnnn0d 12434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	2	zncrng 21474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34		crngring 20156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
38	7, 37	ringcl 20161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
39	36, 25, 28, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40		fvco3 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
41	22, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42		fvco3 6916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
43	22, 25, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
44		fvco3 6916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
45	22, 28, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
46	43, 45	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
47	31, 41, 46	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
48	47	ralrimivva 3173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
50	7, 49	ringidcl 20176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
51	35, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52		fvco3 6916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
53	8, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
54	16	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
55	54	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56		1re 11104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		cjre 15038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘1) = 1
59	55, 58	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
60	53, 59	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
61	16	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
62	8, 42	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
63		cj0 15057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∗‘0) = 0
64	63	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (∗‘0)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
66	62, 65	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0)))
67	8	ffvelcdmda 7012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
68		0cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
69		cj11 15061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
70	67, 68, 69	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
71	66, 70	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	71	necon3bid 2970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
73	72	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
74	73	ralbidva 3151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
75	61, 74	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
76	48, 60, 75	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
77	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 27169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
78	10, 76, 77	mpbir2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
79	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmul 27179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
80	79	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋)))
81	80	fveq1d 6819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
82	23	sseli 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
83	82, 62	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
84	83	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
85	82, 67	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
86	85	absvalsqd 15344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
87	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
88		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
89	1, 3, 87, 2, 11, 88	dchrabs 27191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋‘𝑥)) = 1)
90	89	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = (1↑2))
91		sq1 14094	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = 1)
93	84, 86, 92	3eqtr2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
94	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
95	94	ffnd 6648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
96	10	ffnd 6648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
97	96	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98		fvexd 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
99	82	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100		fnfvof 7622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
101	95, 97, 98, 99, 100	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
102		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
103	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
104	1, 2, 102, 11, 103, 88	dchr1 27188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g‘𝐺)‘𝑥) = 1)
105	93, 101, 104	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘f · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
106	81, 105	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
107	106	ralrimiva 3122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
108	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmulcl 27180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
109	1	dchrabl 27185	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
110		ablgrp 19690	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
111	13, 109, 110	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
112	3, 102	grpidcl 18870	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
113	111, 112	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
114	1, 2, 3, 11, 108, 113	dchreq 27189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥)))
115	107, 114	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺))
116		dchrinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
117	3, 4, 102, 116	grpinvid1 18896	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
118	111, 5, 78, 117	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
119	115, 118	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  Vcvv 3434   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003  ℕcn 12117  2c2 12172  ℕ₀cn0 12373  ↑cexp 13960  ∗ccj 14995  abscabs 15133  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18838  inv_gcminusg 18839  Abelcabl 19686  1_rcur 20092  Ringcrg 20144  CRingccrg 20145  Unitcui 20266  ℤ/nℤczn 21432  DChrcdchr 27163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9824  df-acn 9827  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14966  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-limsup 15370  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-sum 15586  df-ef 15966  df-sin 15968  df-cos 15969  df-pi 15971  df-dvds 16156  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-qus 17405  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-nsg 19029  df-eqg 19030  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-od 19433  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-rhm 20383  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139  df-2idl 21180  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-nei 23006  df-lp 23044  df-perf 23045  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-haus 23223  df-tx 23470  df-hmeo 23663  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-xms 24228  df-ms 24229  df-tms 24230  df-cncf 24791  df-limc 25787  df-dv 25788  df-log 26485  df-cxp 26486  df-dchr 27164

This theorem is referenced by:  dchr2sum  27204  dchrisum0re  27444