MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinv 25529
Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrinv (𝜑 → (𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 eqid 2772 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2772 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 dchrabs.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
6 cjf 14314 . . . . . . . . . 10 ∗:ℂ⟶ℂ
7 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
81, 2, 3, 7, 5dchrf 25510 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9 fco 6355 . . . . . . . . . 10 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
106, 8, 9sylancr 578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
121, 3dchrrcl 25508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
135, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
141, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 25506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
155, 14mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
1615simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
1716simp1d 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
1817r19.21bi 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
1918r19.21bi 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
2019anasss 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
2120fveq2d 6497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
228adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
237, 11unitss 19123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24 simprl 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2523, 24sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2622, 25ffvelrnd 6671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
27 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2823, 27sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2922, 28ffvelrnd 6671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
3026, 29cjmuld 14431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
3121, 30eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
3213nnnn0d 11760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
332zncrng 20383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34 crngring 19021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
3635adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
387, 37ringcl 19024 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3936, 25, 28, 38syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40 fvco3 6582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
4122, 39, 40syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42 fvco3 6582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
4322, 25, 42syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
44 fvco3 6582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋𝑦)))
4522, 28, 44syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋𝑦)))
4643, 45oveq12d 6988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
4731, 41, 463eqtr4d 2818 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
4847ralrimivva 3135 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
507, 49ringidcl 19031 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5135, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52 fvco3 6582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
538, 51, 52syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
5416simp2d 1123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
5554fveq2d 6497 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56 1re 10431 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
57 cjre 14349 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘1) = 1
5955, 58syl6eq 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
6053, 59eqtrd 2808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
6116simp3d 1124 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
628, 42sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
63 cj0 14368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∗‘0) = 0
6463eqcomi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (∗‘0)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
6662, 65eqeq12d 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0)))
678ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
68 0cn 10423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
69 cj11 14372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7067, 68, 69sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7166, 70bitrd 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7271necon3bid 3005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑥) ≠ 0))
7372imbi1d 334 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
7473ralbidva 3140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
7561, 74mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
7648, 60, 753jca 1108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
771, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 25506 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
7810, 76, 77mpbir2and 700 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
791, 2, 3, 4, 5, 78dchrmul 25516 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋)))
8079adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋)))
8180fveq1d 6495 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
8223sseli 3850 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8382, 62sylan2 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
8483oveq2d 6986 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋𝑥) · (∗‘(𝑋𝑥))))
8582, 67sylan2 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
8685absvalsqd 14653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = ((𝑋𝑥) · (∗‘(𝑋𝑥))))
875adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋𝐷)
88 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
891, 3, 87, 2, 11, 88dchrabs 25528 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋𝑥)) = 1)
9089oveq1d 6985 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = (1↑2))
91 sq1 13366 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
9290, 91syl6eq 2824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = 1)
9384, 86, 923eqtr2d 2814 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
948adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9594ffnd 6339 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9610ffnd 6339 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9796adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98 fvexd 6508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
9982adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100 fnfvof 7235 . . . . . . 7 (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
10195, 97, 98, 99, 100syl22anc 826 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
102 eqid 2772 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
10313adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1041, 2, 102, 11, 103, 88dchr1 25525 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g𝐺)‘𝑥) = 1)
10593, 101, 1043eqtr4d 2818 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
10681, 105eqtrd 2808 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
107106ralrimiva 3126 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
1081, 2, 3, 4, 5, 78dchrmulcl 25517 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
1091dchrabl 25522 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
110 ablgrp 18661 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11113, 109, 1103syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1123, 102grpidcl 17909 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
113111, 112syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
1141, 2, 3, 11, 108, 113dchreq 25526 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥)))
115107, 114mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺))
116 dchrinv.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
1173, 4, 102, 116grpinvid1 17931 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺)))
118111, 5, 78, 117syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺)))
119115, 118mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  Vcvv 3409  ccom 5404   Fn wfn 6177  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑓 cof 7219  cc 10325  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   · cmul 10332  cn 11431  2c2 11488  0cn0 11700  cexp 13237  ccj 14306  abscabs 14444  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  .rcmulr 16412  0gc0g 16559  Grpcgrp 17881  invgcminusg 17882  Abelcabl 18657  1rcur 18964  Ringcrg 19010  CRingccrg 19011  Unitcui 19102  ℤ/nczn 20342  DChrcdchr 25500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-acn 9157  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271  df-sin 15273  df-cos 15274  df-pi 15276  df-dvds 15458  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-qus 16628  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-nsg 18051  df-eqg 18052  df-ghm 18117  df-cntz 18208  df-od 18408  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-rnghom 19180  df-drng 19217  df-subrg 19246  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-lidl 19658  df-rsp 19659  df-2idl 19716  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-zring 20310  df-zrh 20343  df-zn 20346  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-limc 24157  df-dv 24158  df-log 24831  df-cxp 24832  df-dchr 25501
This theorem is referenced by:  dchr2sum  25541  dchrisum0re  25781
  Copyright terms: Public domain W3C validator