MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinv 25277
Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrinv (𝜑 → (𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 eqid 2765 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2765 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 dchrabs.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
6 cjf 14129 . . . . . . . . . 10 ∗:ℂ⟶ℂ
7 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
81, 2, 3, 7, 5dchrf 25258 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9 fco 6240 . . . . . . . . . 10 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
106, 8, 9sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
121, 3dchrrcl 25256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
135, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
141, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 25254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
155, 14mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
1615simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
1716simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
1817r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
1918r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
2019anasss 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
2120fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
228adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
237, 11unitss 18927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2523, 24sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2622, 25ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
27 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2823, 27sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2922, 28ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
3026, 29cjmuld 14246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
3121, 30eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
3213nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
332zncrng 20165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34 crngring 18825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
387, 37ringcl 18828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3936, 25, 28, 38syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40 fvco3 6464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
4122, 39, 40syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42 fvco3 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
4322, 25, 42syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
44 fvco3 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋𝑦)))
4522, 28, 44syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋𝑦)))
4643, 45oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋𝑥)) · (∗‘(𝑋𝑦))))
4731, 41, 463eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
4847ralrimivva 3118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
507, 49ringidcl 18835 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5135, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52 fvco3 6464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
538, 51, 52syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
5416simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
5554fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56 1re 10293 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
57 cjre 14164 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘1) = 1
5955, 58syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
6053, 59eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
6116simp3d 1174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
628, 42sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
63 cj0 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∗‘0) = 0
6463eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (∗‘0)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
6662, 65eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0)))
678ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
68 0cn 10285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
69 cj11 14187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7067, 68, 69sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7166, 70bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋𝑥) = 0))
7271necon3bid 2981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑥) ≠ 0))
7372imbi1d 332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
7473ralbidva 3132 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
7561, 74mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
7648, 60, 753jca 1158 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
771, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 25254 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
7810, 76, 77mpbir2and 704 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
791, 2, 3, 4, 5, 78dchrmul 25264 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋)))
8079adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋)))
8180fveq1d 6377 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
8223sseli 3757 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8382, 62sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
8483oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋𝑥) · (∗‘(𝑋𝑥))))
8582, 67sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
8685absvalsqd 14466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = ((𝑋𝑥) · (∗‘(𝑋𝑥))))
875adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋𝐷)
88 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
891, 3, 87, 2, 11, 88dchrabs 25276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋𝑥)) = 1)
9089oveq1d 6857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = (1↑2))
91 sq1 13165 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
9290, 91syl6eq 2815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋𝑥))↑2) = 1)
9384, 86, 923eqtr2d 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
948adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9594ffnd 6224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9610ffnd 6224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9796adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98 fvexd 6390 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
9982adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100 fnfvof 7109 . . . . . . 7 (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
10195, 97, 98, 99, 100syl22anc 867 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
102 eqid 2765 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
10313adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1041, 2, 102, 11, 103, 88dchr1 25273 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g𝐺)‘𝑥) = 1)
10593, 101, 1043eqtr4d 2809 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
10681, 105eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
107106ralrimiva 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥))
1081, 2, 3, 4, 5, 78dchrmulcl 25265 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
1091dchrabl 25270 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
110 ablgrp 18464 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11113, 109, 1103syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1123, 102grpidcl 17717 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
113111, 112syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
1141, 2, 3, 11, 108, 113dchreq 25274 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g𝐺)‘𝑥)))
115107, 114mpbird 248 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺))
116 dchrinv.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
1173, 4, 102, 116grpinvid1 17737 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺)))
118111, 5, 78, 117syl3anc 1490 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g𝐺)))
119115, 118mpbird 248 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  ccom 5281   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cexp 13067  ccj 14121  abscabs 14259  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  .rcmulr 16215  0gc0g 16366  Grpcgrp 17689  invgcminusg 17690  Abelcabl 18460  1rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815  Unitcui 18906  ℤ/nczn 20124  DChrcdchr 25248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-qus 16435  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-nsg 17856  df-eqg 17857  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-od 18212  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595  df-dchr 25249
This theorem is referenced by:  dchr2sum  25289  dchrisum0re  25493
  Copyright terms: Public domain W3C validator