Theorem unitgrpbas 20573

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbas	⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)

Proof of Theorem unitgrpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitmulcl.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20567	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
4		unitgrp.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5, 1	mgpbas 20326	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	ressbas2 17377	. 2 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑈 = (Base‘𝐺))
8	3, 7	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  mulGrpcmgp 20321  Unitcui 20546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mgp 20322  df-dvdsr 20548  df-unit 20549

This theorem is used by:  unitgrp  20574  unitinvcl  20581  unitinvinv  20582  unitlinv  20584  unitrinv  20585  rdivmuldivd  20604  invrpropd  20609  rhmunitinv  20722  subrgugrp  20804  invrvald  22952  nrginvrcn  24972  dchrfi  27545  dchrabs  27550  dchrptlem1  27554  dchrptlem2  27555  dchrpt  27557  dchrsum2  27558  sum2dchr  27564  ringinvval  33728  dvrcan5  33729  idomodle  44136  proot1ex  44141