Theorem unitgrpbas 20463

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbas	⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)

Proof of Theorem unitgrpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitmulcl.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20457	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
4		unitgrp.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5, 1	mgpbas 20220	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	ressbas2 17297	. 2 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑈 = (Base‘𝐺))
8	3, 7	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1568   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  mulGrpcmgp 20215  Unitcui 20436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mgp 20216  df-dvdsr 20438  df-unit 20439

This theorem is referenced by:  unitgrp  20464  unitinvcl  20471  unitinvinv  20472  unitlinv  20474  unitrinv  20475  rdivmuldivd  20494  invrpropd  20499  rhmunitinv  20593  subrgugrp  20675  invrvald  22812  nrginvrcn  24828  dchrfi  27395  dchrabs  27400  dchrptlem1  27404  dchrptlem2  27405  dchrpt  27407  dchrsum2  27408  sum2dchr  27414  ringinvval  33520  dvrcan5  33521  idomodle  43866  proot1ex  43871