Theorem dchrelbasd 26587

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1	⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2	⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3	⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4	⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbasd	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrelbasd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3		0cnd 11148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
4	2, 3	ifclda 4521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
5	4	fmpttd 7063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
6		dchrval.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		dchrval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9	8	zncrng 20951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
10		crngring 19976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
12		dchrval.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
14	12, 13	unitmulcl 20093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
15	14	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
16	11, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
17	16	iftrued 4494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
18		dchrelbasd.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
19	17, 18	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
20		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))
21		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
22		dchrelbasd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
23	21, 22	ifbieq1d 4510	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
24		dchrval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
25	24, 12	unitss 20089	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
26	25, 16	sselid 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
27	22	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
28	1	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
30	27, 29, 16	rspcdva 3582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
31	17, 30	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
32	20, 23, 26, 31	fvmptd3 6971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
33		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
34		dchrelbasd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
35	33, 34	ifbieq1d 4510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
36		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	25, 36	sselid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		iftrue 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
40	34	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
41	40, 29, 36	rspcdva 3582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	39, 41	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
43	20, 35, 37, 42	fvmptd3 6971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
44	43, 39	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
45		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
46		dchrelbasd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
47	45, 46	ifbieq1d 4510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
48		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
49	25, 48	sselid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		iftrue 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
52	46	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
53	52, 29, 48	rspcdva 3582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
55	20, 47, 49, 54	fvmptd3 6971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
56	55, 51	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
57	44, 56	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
58	19, 32, 57	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
59	58	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
60		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑍) ∈ 𝑈))
61		dchrelbasd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
62	60, 61	ifbieq1d 4510	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
63		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
64	12, 63	1unit 20087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
65	11, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
66	25, 65	sselid 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝐵)
67	65	iftrued 4494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
68		dchrelbasd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)
69	67, 68	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
70		ax-1cn 11109	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	69, 70	eqeltrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
72	20, 62, 66, 71	fvmptd3 6971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
73	72, 69	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1)
74		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
75	40	rspcv 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
76	28, 75	mpan9 507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
78		0cnd 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
79	77, 78	ifclda 4521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
80	20, 35, 74, 79	fvmptd3 6971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
81	80	neeq1d 3003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
82		iffalse 4495	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 0)
83	82	necon1ai 2971	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)
84	81, 83	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
85	84	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
86	59, 73, 85	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
87		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
88		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
89	87, 8, 24, 12, 6, 88	dchrelbas3 26586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
90	5, 86, 89	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  ℤ/nℤczn 20903  DChrcdchr 26580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zn 20907  df-dchr 26581

This theorem is referenced by:  dchr1cl  26599  dchrinvcl  26601  dchrptlem2  26613