MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbasd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbasd 26587
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1 (𝑘 = 𝑥𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2 (𝑘 = 𝑦𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4 (𝑘 = (1r𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7 (𝜑𝑌 = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrelbasd (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd
StepHypRef Expression
1 dchrelbasd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
21adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3 0cnd 11148 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → 0 ∈ ℂ)
42, 3ifclda 4521 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
54fmpttd 7063 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
6 dchrval.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 12473 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 dchrval.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
98zncrng 20951 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
10 crngring 19976 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
12 dchrval.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1412, 13unitmulcl 20093 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
15143expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
1611, 15sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
1716iftrued 4494 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
18 dchrelbasd.6 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
1917, 18eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
20 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))
21 eleq1 2825 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑘𝑈 ↔ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
22 dchrelbasd.3 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
2321, 22ifbieq1d 4510 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
24 dchrval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑍)
2524, 12unitss 20089 . . . . . . 7 𝑈𝐵
2625, 16sselid 3942 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
2722eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
281ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
3027, 29, 16rspcdva 3582 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
3117, 30eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
3220, 23, 26, 31fvmptd3 6971 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
33 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑈𝑥𝑈))
34 dchrelbasd.1 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥𝑋 = 𝐴)
3533, 34ifbieq1d 4510 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
36 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
3725, 36sselid 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
38 iftrue 4492 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
3938ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
4034eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
4140, 29, 36rspcdva 3582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4239, 41eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
4320, 35, 37, 42fvmptd3 6971 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
4443, 39eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
45 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑈𝑦𝑈))
46 dchrelbasd.2 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦𝑋 = 𝐶)
4745, 46ifbieq1d 4510 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦𝑈, 𝐶, 0))
48 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
4925, 48sselid 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
50 iftrue 4492 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈 → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
5150ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
5246eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
5352, 29, 48rspcdva 3582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5451, 53eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5520, 47, 49, 54fvmptd3 6971 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦𝑈, 𝐶, 0))
5655, 51eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
5744, 56oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
5819, 32, 573eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
5958ralrimivva 3197 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
60 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝑍) → (𝑘𝑈 ↔ (1r𝑍) ∈ 𝑈))
61 dchrelbasd.4 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
6260, 61ifbieq1d 4510 . . . . 5 (𝑘 = (1r𝑍) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
63 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
6412, 631unit 20087 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
6511, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
6625, 65sselid 3942 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝐵)
6765iftrued 4494 . . . . . . 7 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
68 dchrelbasd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = 1)
6967, 68eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
70 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7169, 70eqeltrdi 2846 . . . . 5 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
7220, 62, 66, 71fvmptd3 6971 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
7372, 69eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1)
74 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
7540rspcv 3577 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → (∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
7628, 75mpan9 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
7776adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
78 0cnd 11148 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ ℂ)
7977, 78ifclda 4521 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
8020, 35, 74, 79fvmptd3 6971 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
8180neeq1d 3003 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
82 iffalse 4495 . . . . . 6 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 0)
8382necon1ai 2971 . . . . 5 (if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥𝑈)
8481, 83syl6bi 252 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
8584ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
8659, 73, 853jca 1128 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
87 dchrval.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
88 dchrbas.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
8987, 8, 24, 12, 6, 88dchrelbas3 26586 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))))
905, 86, 89mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  ifcif 4486  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zn 20907  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchr1cl  26599  dchrinvcl  26601  dchrptlem2  26613
  Copyright terms: Public domain W3C validator