MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbasd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbasd 27292
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1 (𝑘 = 𝑥𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2 (𝑘 = 𝑦𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4 (𝑘 = (1r𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7 (𝜑𝑌 = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrelbasd (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd
StepHypRef Expression
1 dchrelbasd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
21adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3 0cnd 11279 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → 0 ∈ ℂ)
42, 3ifclda 4583 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
54fmpttd 7147 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
6 dchrval.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 12609 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 dchrval.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
98zncrng 21581 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
10 crngring 20267 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
12 dchrval.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1412, 13unitmulcl 20401 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
15143expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
1611, 15sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
1716iftrued 4556 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
18 dchrelbasd.6 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
1917, 18eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
20 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))
21 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑘𝑈 ↔ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
22 dchrelbasd.3 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
2321, 22ifbieq1d 4572 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
24 dchrval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑍)
2524, 12unitss 20397 . . . . . . 7 𝑈𝐵
2625, 16sselid 4000 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
2722eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
281ralrimiva 3148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
3027, 29, 16rspcdva 3632 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
3117, 30eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
3220, 23, 26, 31fvmptd3 7050 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
33 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑈𝑥𝑈))
34 dchrelbasd.1 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥𝑋 = 𝐴)
3533, 34ifbieq1d 4572 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
36 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
3725, 36sselid 4000 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
38 iftrue 4554 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
4034eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
4140, 29, 36rspcdva 3632 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4239, 41eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
4320, 35, 37, 42fvmptd3 7050 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
4443, 39eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
45 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑈𝑦𝑈))
46 dchrelbasd.2 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦𝑋 = 𝐶)
4745, 46ifbieq1d 4572 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦𝑈, 𝐶, 0))
48 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
4925, 48sselid 4000 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
50 iftrue 4554 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈 → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
5150ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
5246eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
5352, 29, 48rspcdva 3632 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5451, 53eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → if(𝑦𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5520, 47, 49, 54fvmptd3 7050 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦𝑈, 𝐶, 0))
5655, 51eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
5744, 56oveq12d 7463 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
5819, 32, 573eqtr4d 2784 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
5958ralrimivva 3204 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
60 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝑍) → (𝑘𝑈 ↔ (1r𝑍) ∈ 𝑈))
61 dchrelbasd.4 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
6260, 61ifbieq1d 4572 . . . . 5 (𝑘 = (1r𝑍) → if(𝑘𝑈, 𝑋, 0) = if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
63 eqid 2734 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
6412, 631unit 20395 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
6511, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
6625, 65sselid 4000 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝐵)
6765iftrued 4556 . . . . . . 7 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
68 dchrelbasd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = 1)
6967, 68eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
70 ax-1cn 11238 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7169, 70eqeltrdi 2846 . . . . 5 (𝜑 → if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
7220, 62, 66, 71fvmptd3 7050 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = if((1r𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
7372, 69eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1)
74 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
7540rspcv 3627 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → (∀𝑘𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
7628, 75mpan9 506 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
7776adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
78 0cnd 11279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ ℂ)
7977, 78ifclda 4583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
8020, 35, 74, 79fvmptd3 7050 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐴, 0))
8180neeq1d 3002 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
82 iffalse 4557 . . . . . 6 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) = 0)
8382necon1ai 2970 . . . . 5 (if(𝑥𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥𝑈)
8481, 83biimtrdi 253 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
8584ralrimiva 3148 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
8659, 73, 853jca 1128 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
87 dchrval.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
88 dchrbas.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
8987, 8, 24, 12, 6, 88dchrelbas3 27291 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))))
905, 86, 89mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  wral 3063  ifcif 4548  cmpt 5252  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  0cc0 11180  1c1 11181   · cmul 11185  cn 12289  0cn0 12549  Basecbs 17253  .rcmulr 17307  1rcur 20203  Ringcrg 20255  CRingccrg 20256  Unitcui 20376  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-addf 11259  ax-mulf 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-ec 8761  df-qs 8765  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17496  df-imas 17563  df-qus 17564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-nsg 19159  df-eqg 19160  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zn 21535  df-dchr 27286
This theorem is referenced by:  dchr1cl  27304  dchrinvcl  27306  dchrptlem2  27318
  Copyright terms: Public domain W3C validator