Theorem dchrelbasd 27581

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1	⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2	⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3	⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4	⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbasd	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝑁(𝑦, 𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrelbasd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3		0cnd 11312	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
4	2, 3	ifclda 4521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
5	4	fmpttd 7126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
6		dchrval.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		dchrval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9	8	zncrng 21865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
10		crngring 20487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
11	7, 9, 10	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
12		dchrval.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
14	12, 13	unitmulcl 20625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
15	14	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
16	11, 15	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
17	16	iftrued 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
18		dchrelbasd.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
19	17, 18	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))
21		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
22		dchrelbasd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
23	21, 22	ifbieq1d 4510	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
24		dchrval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
25	24, 12	unitss 20621	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
26	25, 16	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
27	22	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
28	1	ralrimiva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
30	27, 29, 16	rspcdva 3581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
31	17, 30	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
32	20, 23, 26, 31	fvmptd3 7028	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
33		eleq1 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
34		dchrelbasd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
35	33, 34	ifbieq1d 4510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
36		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	25, 36	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		iftrue 4491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
40	34	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
41	40, 29, 36	rspcdva 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	39, 41	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
43	20, 35, 37, 42	fvmptd3 7028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
44	43, 39	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
45		eleq1 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
46		dchrelbasd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
47	45, 46	ifbieq1d 4510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
48		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
49	25, 48	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		iftrue 4491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
52	46	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
53	52, 29, 48	rspcdva 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
55	20, 47, 49, 54	fvmptd3 7028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
56	55, 51	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
57	44, 56	oveq12d 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
58	19, 32, 57	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
59	58	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
60		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑍) ∈ 𝑈))
61		dchrelbasd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
62	60, 61	ifbieq1d 4510	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
63		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
64	12, 63	1unit 20619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
65	11, 64	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
66	25, 65	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝐵)
67	65	iftrued 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
68		dchrelbasd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)
69	67, 68	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
70		ax-1cn 11271	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	69, 70	eqeltrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
72	20, 62, 66, 71	fvmptd3 7028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
73	72, 69	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1)
74		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
75	40	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
76	28, 75	mpan9 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
78		0cnd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
79	77, 78	ifclda 4521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
80	20, 35, 74, 79	fvmptd3 7028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
81	80	neeq1d 3018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
82		iffalse 4494	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 0)
83	82	necon1ai 2986	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)
84	81, 83	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
85	84	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
86	59, 73, 85	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
87		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
88		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
89	87, 8, 24, 12, 6, 88	dchrelbas3 27580	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
90	5, 86, 89	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ifcif 4485   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  0cc0 11213  1c1 11214   · cmul 11218  ℕcn 12348  ℕ₀cn0 12619  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  Unitcui 20600  ℤ/nℤczn 21823  DChrcdchr 27574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-imas 17695  df-qus 17696  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-nsg 19349  df-eqg 19350  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-lidl 21501  df-rsp 21502  df-2idl 21558  df-cnfld 21694  df-zring 21768  df-zn 21827  df-dchr 27575

This theorem is used by:  dchr1cl  27593  dchrinvcl  27595  dchrptlem2  27607