Theorem dchrelbasd 27478

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1	⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2	⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3	⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4	⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbasd	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝑁(𝑦, 𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrelbasd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3		0cnd 11226	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
4	2, 3	ifclda 4518	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
5	4	fmpttd 7109	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
6		dchrval.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		dchrval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9	8	zncrng 21760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
10		crngring 20387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
11	7, 9, 10	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
12		dchrval.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
14	12, 13	unitmulcl 20524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
15	14	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
16	11, 15	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
17	16	iftrued 4490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
18		dchrelbasd.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
19	17, 18	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))
21		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
22		dchrelbasd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
23	21, 22	ifbieq1d 4507	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
24		dchrval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
25	24, 12	unitss 20520	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
26	25, 16	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
27	22	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
28	1	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
30	27, 29, 16	rspcdva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
31	17, 30	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
32	20, 23, 26, 31	fvmptd3 7011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
33		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
34		dchrelbasd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
35	33, 34	ifbieq1d 4507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
36		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	25, 36	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		iftrue 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
40	34	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
41	40, 29, 36	rspcdva 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	39, 41	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
43	20, 35, 37, 42	fvmptd3 7011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
44	43, 39	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
45		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
46		dchrelbasd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
47	45, 46	ifbieq1d 4507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
48		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
49	25, 48	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		iftrue 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
52	46	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
53	52, 29, 48	rspcdva 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
55	20, 47, 49, 54	fvmptd3 7011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
56	55, 51	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
57	44, 56	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
58	19, 32, 57	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
59	58	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
60		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑍) ∈ 𝑈))
61		dchrelbasd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
62	60, 61	ifbieq1d 4507	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
63		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
64	12, 63	1unit 20518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
65	11, 64	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
66	25, 65	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝐵)
67	65	iftrued 4490	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
68		dchrelbasd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)
69	67, 68	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
70		ax-1cn 11185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	69, 70	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
72	20, 62, 66, 71	fvmptd3 7011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
73	72, 69	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1)
74		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
75	40	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
76	28, 75	mpan9 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
78		0cnd 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
79	77, 78	ifclda 4518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
80	20, 35, 74, 79	fvmptd3 7011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
81	80	neeq1d 3014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
82		iffalse 4491	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 0)
83	82	necon1ai 2982	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)
84	81, 83	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
85	84	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
86	59, 73, 85	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
87		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
88		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
89	87, 8, 24, 12, 6, 88	dchrelbas3 27477	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
90	5, 86, 89	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  1_rcur 20323  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376  Unitcui 20499  ℤ/nℤczn 21718  DChrcdchr 27471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-0g 17529  df-imas 17597  df-qus 17598  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-nsg 19250  df-eqg 19251  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-lidl 21398  df-rsp 21399  df-2idl 21455  df-cnfld 21589  df-zring 21663  df-zn 21722  df-dchr 27472

This theorem is used by:  dchr1cl  27490  dchrinvcl  27492  dchrptlem2  27504