Theorem dchrelbasd 26398

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1	⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2	⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3	⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4	⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbasd	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrelbasd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3		0cnd 10979	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
4	2, 3	ifclda 4500	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
5	4	fmpttd 6986	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
6		dchrval.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		dchrval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9	8	zncrng 20763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
10		crngring 19806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
12		dchrval.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
14	12, 13	unitmulcl 19917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
15	14	3expb 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
16	11, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
17	16	iftrued 4473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
18		dchrelbasd.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
19	17, 18	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
20		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))
21		eleq1 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
22		dchrelbasd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
23	21, 22	ifbieq1d 4489	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
24		dchrval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
25	24, 12	unitss 19913	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
26	25, 16	sselid 3924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
27	22	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
28	1	ralrimiva 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
30	27, 29, 16	rspcdva 3563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
31	17, 30	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
32	20, 23, 26, 31	fvmptd3 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
33		eleq1 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
34		dchrelbasd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
35	33, 34	ifbieq1d 4489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
36		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	25, 36	sselid 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		iftrue 4471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
40	34	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
41	40, 29, 36	rspcdva 3563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	39, 41	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
43	20, 35, 37, 42	fvmptd3 6895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
44	43, 39	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
45		eleq1 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
46		dchrelbasd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
47	45, 46	ifbieq1d 4489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
48		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
49	25, 48	sselid 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		iftrue 4471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	ad2antll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
52	46	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
53	52, 29, 48	rspcdva 3563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
55	20, 47, 49, 54	fvmptd3 6895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
56	55, 51	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
57	44, 56	oveq12d 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
58	19, 32, 57	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
59	58	ralrimivva 3117	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
60		eleq1 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑍) ∈ 𝑈))
61		dchrelbasd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
62	60, 61	ifbieq1d 4489	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
63		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
64	12, 63	1unit 19911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
65	11, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
66	25, 65	sselid 3924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝐵)
67	65	iftrued 4473	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
68		dchrelbasd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)
69	67, 68	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
70		ax-1cn 10940	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	69, 70	eqeltrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
72	20, 62, 66, 71	fvmptd3 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
73	72, 69	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1)
74		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
75	40	rspcv 3556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
76	28, 75	mpan9 507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
78		0cnd 10979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
79	77, 78	ifclda 4500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
80	20, 35, 74, 79	fvmptd3 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
81	80	neeq1d 3005	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
82		iffalse 4474	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 0)
83	82	necon1ai 2973	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)
84	81, 83	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
85	84	ralrimiva 3110	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
86	59, 73, 85	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
87		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
88		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
89	87, 8, 24, 12, 6, 88	dchrelbas3 26397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
90	5, 86, 89	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  ifcif 4465   ↦ cmpt 5162  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℂcc 10880  0cc0 10882  1c1 10883   · cmul 10887  ℕcn 11984  ℕ₀cn0 12244  Basecbs 16923  ._rcmulr 16974  1_rcur 19748  Ringcrg 19794  CRingccrg 19795  Unitcui 19892  ℤ/nℤczn 20715  DChrcdchr 26391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-addf 10961  ax-mulf 10962

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-tpos 8034  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-ec 8492  df-qs 8496  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-fz 13251  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-0g 17163  df-imas 17230  df-qus 17231  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-mhm 18441  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-sbg 18593  df-subg 18763  df-nsg 18764  df-eqg 18765  df-cmn 19399  df-abl 19400  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-cring 19797  df-oppr 19873  df-dvdsr 19894  df-unit 19895  df-subrg 20033  df-lmod 20136  df-lss 20205  df-lsp 20245  df-sra 20445  df-rgmod 20446  df-lidl 20447  df-rsp 20448  df-2idl 20514  df-cnfld 20609  df-zring 20682  df-zn 20719  df-dchr 26392

This theorem is referenced by:  dchr1cl  26410  dchrinvcl  26412  dchrptlem2  26424