Theorem dchrelbasd 27221

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbasd.1	⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
dchrelbasd.2	⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
dchrelbasd.3	⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
dchrelbasd.4	⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
dchrelbasd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
dchrelbasd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
dchrelbasd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbasd	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dchrelbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrelbasd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantlr 721	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ℂ)
3		0cnd 11129	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
4	2, 3	ifclda 4491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) ∈ ℂ)
5	4	fmpttd 7057	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ)
6		dchrval.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		dchrval.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9	8	zncrng 21520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
10		crngring 20218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
12		dchrval.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
14	12, 13	unitmulcl 20352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
15	14	3expb 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
16	11, 15	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
17	16	iftrued 4463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = 𝐸)
18		dchrelbasd.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 = (𝐴 · 𝐶))
19	17, 18	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) = (𝐴 · 𝐶))
20		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))
21		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
22		dchrelbasd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 𝑋 = 𝐸)
23	21, 22	ifbieq1d 4480	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
24		dchrval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
25	24, 12	unitss 20348	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
26	25, 16	sselid 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
27	22	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
28	1	ralrimiva 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ)
30	27, 29, 16	rspcdva 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℂ)
31	17, 30	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0) ∈ ℂ)
32	20, 23, 26, 31	fvmptd3 6960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = if((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈, 𝐸, 0))
33		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
34		dchrelbasd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑋 = 𝐴)
35	33, 34	ifbieq1d 4480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
36		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	25, 36	sselid 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		iftrue 4461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 𝐴)
40	34	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐴 ∈ ℂ))
41	40, 29, 36	rspcdva 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	39, 41	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
43	20, 35, 37, 42	fvmptd3 6960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
44	43, 39	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = 𝐴)
45		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
46		dchrelbasd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝑋 = 𝐶)
47	45, 46	ifbieq1d 4480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
48		simprr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
49	25, 48	sselid 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		iftrue 4461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
51	50	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
52	46	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
53	52, 29, 48	rspcdva 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
55	20, 47, 49, 54	fvmptd3 6960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
56	55, 51	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦) = 𝐶)
57	44, 56	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) = (𝐴 · 𝐶))
58	19, 32, 57	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
59	58	ralrimivva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)))
60		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑍) ∈ 𝑈))
61		dchrelbasd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 𝑋 = 𝑌)
62	60, 61	ifbieq1d 4480	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
63		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
64	12, 63	1unit 20346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
65	11, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
66	25, 65	sselid 3913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ 𝐵)
67	65	iftrued 4463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 𝑌)
68		dchrelbasd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 1)
69	67, 68	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) = 1)
70		ax-1cn 11088	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	69, 70	eqeltrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0) ∈ ℂ)
72	20, 62, 66, 71	fvmptd3 6960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = if((1r‘𝑍) ∈ 𝑈, 𝑌, 0))
73	72, 69	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1)
74		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
75	40	rspcv 3556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (∀𝑘 ∈ 𝑈 𝑋 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ))
76	28, 75	mpan9 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℂ)
78		0cnd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ ℂ)
79	77, 78	ifclda 4491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
80	20, 35, 74, 79	fvmptd3 6960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0))
81	80	neeq1d 2993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 ↔ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0))
82		iffalse 4464	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) = 0)
83	82	necon1ai 2961	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)
84	81, 83	biimtrdi 254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
85	84	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
86	59, 73, 85	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
87		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
88		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
89	87, 8, 24, 12, 6, 88	dchrelbas3 27220	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)):𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑦)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0))‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
90	5, 86, 89	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 𝑋, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ifcif 4455   ↦ cmpt 5154  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  Basecbs 17171  ._rcmulr 17213  1_rcur 20154  Ringcrg 20206  CRingccrg 20207  Unitcui 20327  ℤ/nℤczn 21478  DChrcdchr 27214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-0g 17396  df-imas 17464  df-qus 17465  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-nsg 19092  df-eqg 19093  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-rsp 21203  df-2idl 21244  df-cnfld 21349  df-zring 21423  df-zn 21482  df-dchr 27215

This theorem is referenced by:  dchr1cl  27233  dchrinvcl  27235  dchrptlem2  27247