MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrghm 26748
Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of β„€/nβ„€ is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrghm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrghm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrghm.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrghm.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrghm.m 𝑀 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
dchrghm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrghm (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrghm.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrghm.b . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
41, 2, 3dchrmhm 26733 . . . . 5 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
5 dchrghm.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
64, 5sselid 3979 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
71, 3dchrrcl 26732 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
98nnnn0d 12528 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
102zncrng 21091 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
12 crngring 20061 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
14 dchrghm.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
1614, 15unitsubm 20192 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)))
1713, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)))
18 dchrghm.h . . . . 5 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
1918resmhm 18697 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))) β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
206, 17, 19syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
21 cnring 20959 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
22 cnfldbas 20940 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
23 cnfld0 20961 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
24 cndrng 20966 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ DivRing
2522, 23, 24drngui 20313 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
26 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2725, 26unitsubm 20192 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
29 df-ima 5688 . . . . 5 (𝑋 β€œ π‘ˆ) = ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
311, 2, 3, 30, 5dchrf 26734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
3230, 14unitss 20182 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
3332sseli 3977 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
34 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . 9 ((𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3531, 33, 34syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
36 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
375adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
3833adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 26742 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
4036, 39mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
41 eldifsn 4789 . . . . . . . 8 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0))
4235, 40, 41sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
4342ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
4431ffund 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
4531fdmd 6725 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑋 = (Baseβ€˜π‘))
4632, 45sseqtrrid 4034 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† dom 𝑋)
47 funimass4 6953 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋 ∧ π‘ˆ βŠ† dom 𝑋) β†’ ((𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
4844, 46, 47syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
4943, 48mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5029, 49eqsstrrid 4030 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
51 dchrghm.m . . . . 5 𝑀 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
5251resmhm2b 18699 . . . 4 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5328, 50, 52sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5420, 53mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀))
5514, 18unitgrp 20189 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5613, 55syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5751cnmgpabl 20998 . . . 4 𝑀 ∈ Abel
58 ablgrp 19647 . . . 4 (𝑀 ∈ Abel β†’ 𝑀 ∈ Grp)
5957, 58ax-mp 5 . . 3 𝑀 ∈ Grp
60 ghmmhmb 19097 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) β†’ (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6156, 59, 60sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6254, 61eleqtrrd 2836 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169   MndHom cmhm 18665  SubMndcsubmnd 18666  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  Abelcabl 19643  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  Unitcui 20161  β„‚fldccnfld 20936  β„€/nβ„€czn 21043  DChrcdchr 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zn 21047  df-dchr 26725
This theorem is referenced by:  dchrabs  26752  sum2dchr  26766
  Copyright terms: Public domain W3C validator