MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrghm 27139
Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of β„€/nβ„€ is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrghm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrghm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrghm.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrghm.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrghm.m 𝑀 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
dchrghm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrghm (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrghm.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrghm.b . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
41, 2, 3dchrmhm 27124 . . . . 5 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
5 dchrghm.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
64, 5sselid 3975 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
71, 3dchrrcl 27123 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
98nnnn0d 12533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
102zncrng 21434 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
12 crngring 20147 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
14 dchrghm.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
1614, 15unitsubm 20285 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)))
1713, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)))
18 dchrghm.h . . . . 5 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
1918resmhm 18742 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))) β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
206, 17, 19syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
21 cnring 21274 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
22 cnfldbas 21239 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
23 cnfld0 21276 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
24 cndrng 21282 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ DivRing
2522, 23, 24drngui 20590 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
26 eqid 2726 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2725, 26unitsubm 20285 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
29 df-ima 5682 . . . . 5 (𝑋 β€œ π‘ˆ) = ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ)
30 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
311, 2, 3, 30, 5dchrf 27125 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
3230, 14unitss 20275 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
3332sseli 3973 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
34 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . 9 ((𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3531, 33, 34syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
36 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
375adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
3833adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 27133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
4036, 39mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
41 eldifsn 4785 . . . . . . . 8 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0))
4235, 40, 41sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
4342ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
4431ffund 6714 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
4531fdmd 6721 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑋 = (Baseβ€˜π‘))
4632, 45sseqtrrid 4030 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† dom 𝑋)
47 funimass4 6949 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋 ∧ π‘ˆ βŠ† dom 𝑋) β†’ ((𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
4844, 46, 47syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
4943, 48mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5029, 49eqsstrrid 4026 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
51 dchrghm.m . . . . 5 𝑀 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
5251resmhm2b 18744 . . . 4 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5328, 50, 52sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5420, 53mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀))
5514, 18unitgrp 20282 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5613, 55syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5751cnmgpabl 21317 . . . 4 𝑀 ∈ Abel
58 ablgrp 19702 . . . 4 (𝑀 ∈ Abel β†’ 𝑀 ∈ Grp)
5957, 58ax-mp 5 . . 3 𝑀 ∈ Grp
60 ghmmhmb 19149 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) β†’ (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6156, 59, 60sylancl 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6254, 61eleqtrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179   MndHom cmhm 18708  SubMndcsubmnd 18709  Grpcgrp 18860   GrpHom cghm 19135  Abelcabl 19698  mulGrpcmgp 20036  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136  Unitcui 20254  β„‚fldccnfld 21235  β„€/nβ„€czn 21384  DChrcdchr 27115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-nsg 19048  df-eqg 19049  df-ghm 19136  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-lidl 21064  df-rsp 21065  df-2idl 21104  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zn 21388  df-dchr 27116
This theorem is referenced by:  dchrabs  27143  sum2dchr  27157
  Copyright terms: Public domain W3C validator