MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrghm 25528
Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of ℤ/n is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrghm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrghm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrghm.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrghm.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrghm.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
dchrghm.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrghm (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))

Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrghm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrghm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
41, 2, 3dchrmhm 25513 . . . . 5 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
5 dchrghm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
64, 5sseldi 3855 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
71, 3dchrrcl 25512 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnnn0d 11764 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
102zncrng 20387 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
12 crngring 19025 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
14 dchrghm.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑍)
15 eqid 2775 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
1614, 15unitsubm 19137 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍)))
1713, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍)))
18 dchrghm.h . . . . 5 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
1918resmhm 17821 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍))) → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
206, 17, 19syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
21 cnring 20263 . . . . 5 fld ∈ Ring
22 cnfldbas 20245 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
23 cnfld0 20265 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
24 cndrng 20270 . . . . . . 7 fld ∈ DivRing
2522, 23, 24drngui 19225 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
26 eqid 2775 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2725, 26unitsubm 19137 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
29 df-ima 5417 . . . . 5 (𝑋𝑈) = ran (𝑋𝑈)
30 eqid 2775 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
311, 2, 3, 30, 5dchrf 25514 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
3230, 14unitss 19127 . . . . . . . . . 10 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
3332sseli 3853 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑈𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
34 ffvelrn 6672 . . . . . . . . 9 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
3531, 33, 34syl2an 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
36 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
375adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑋𝐷)
3833adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 25522 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥𝑈))
4036, 39mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
41 eldifsn 4591 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0))
4235, 40, 41sylanbrc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4342ralrimiva 3129 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4431ffund 6346 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝑋)
4531fdmd 6351 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑋 = (Base‘𝑍))
4632, 45syl5sseqr 3909 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ dom 𝑋)
47 funimass4 6558 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋𝑈 ⊆ dom 𝑋) → ((𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0})))
4844, 46, 47syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0})))
4943, 48mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5029, 49syl5eqssr 3905 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
51 dchrghm.m . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5251resmhm2b 17823 . . . 4 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ran (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5328, 50, 52sylancr 578 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5420, 53mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀))
5514, 18unitgrp 19134 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5613, 55syl 17 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
5751cnmgpabl 20302 . . . 4 𝑀 ∈ Abel
58 ablgrp 18665 . . . 4 (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
5957, 58ax-mp 5 . . 3 𝑀 ∈ Grp
60 ghmmhmb 18134 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) → (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6156, 59, 60sylancl 577 . 2 (𝜑 → (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6254, 61eleqtrrd 2866 1 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964  wral 3085  cdif 3825  wss 3828  {csn 4439  dom cdm 5404  ran crn 5405  cres 5406  cima 5407  Fun wfun 6180  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6974  cc 10329  0cc0 10331  cn 11435  0cn0 11704  Basecbs 16333  s cress 16334   MndHom cmhm 17795  SubMndcsubmnd 17796  Grpcgrp 17885   GrpHom cghm 18120  Abelcabl 18661  mulGrpcmgp 18956  Ringcrg 19014  CRingccrg 19015  Unitcui 19106  fldccnfld 20241  ℤ/nczn 20346  DChrcdchr 25504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-addf 10410  ax-mulf 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-tpos 7692  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-oadd 7905  df-er 8085  df-ec 8087  df-qs 8091  df-map 8204  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-sup 8697  df-inf 8698  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-5 11503  df-6 11504  df-7 11505  df-8 11506  df-9 11507  df-n0 11705  df-z 11791  df-dec 11909  df-uz 12056  df-fz 12706  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-0g 16565  df-imas 16631  df-qus 16632  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-mhm 17797  df-submnd 17798  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-subg 18054  df-nsg 18055  df-eqg 18056  df-ghm 18121  df-cmn 18662  df-abl 18663  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-cring 19017  df-oppr 19090  df-dvdsr 19108  df-unit 19109  df-invr 19139  df-dvr 19150  df-drng 19221  df-subrg 19250  df-lmod 19352  df-lss 19420  df-lsp 19460  df-sra 19660  df-rgmod 19661  df-lidl 19662  df-rsp 19663  df-2idl 19720  df-cnfld 20242  df-zring 20314  df-zn 20350  df-dchr 25505
This theorem is referenced by:  dchrabs  25532  sum2dchr  25546
  Copyright terms: Public domain W3C validator