MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrghm 27209
Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of β„€/nβ„€ is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrghm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrghm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrghm.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrghm.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrghm.m 𝑀 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
dchrghm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrghm (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrghm.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrghm.b . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
41, 2, 3dchrmhm 27194 . . . . 5 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
5 dchrghm.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
64, 5sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
71, 3dchrrcl 27193 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
98nnnn0d 12570 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
102zncrng 21485 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
12 crngring 20192 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
14 dchrghm.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
1614, 15unitsubm 20332 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)))
1713, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)))
18 dchrghm.h . . . . 5 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
1918resmhm 18779 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))) β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
206, 17, 19syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
21 cnring 21325 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
22 cnfldbas 21290 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
23 cnfld0 21327 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
24 cndrng 21333 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ DivRing
2522, 23, 24drngui 20637 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
26 eqid 2728 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2725, 26unitsubm 20332 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
29 df-ima 5695 . . . . 5 (𝑋 β€œ π‘ˆ) = ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ)
30 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
311, 2, 3, 30, 5dchrf 27195 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
3230, 14unitss 20322 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
3332sseli 3978 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
34 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . 9 ((𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3531, 33, 34syl2an 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
36 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
375adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
3833adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 27203 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
4036, 39mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
41 eldifsn 4795 . . . . . . . 8 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0))
4235, 40, 41sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
4342ralrimiva 3143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
4431ffund 6731 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
4531fdmd 6738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑋 = (Baseβ€˜π‘))
4632, 45sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† dom 𝑋)
47 funimass4 6968 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋 ∧ π‘ˆ βŠ† dom 𝑋) β†’ ((𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
4844, 46, 47syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
4943, 48mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 β€œ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5029, 49eqsstrrid 4031 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
51 dchrghm.m . . . . 5 𝑀 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
5251resmhm2b 18781 . . . 4 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ran (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5328, 50, 52sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5420, 53mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀))
5514, 18unitgrp 20329 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5613, 55syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5751cnmgpabl 21368 . . . 4 𝑀 ∈ Abel
58 ablgrp 19747 . . . 4 (𝑀 ∈ Abel β†’ 𝑀 ∈ Grp)
5957, 58ax-mp 5 . . 3 𝑀 ∈ Grp
60 ghmmhmb 19188 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) β†’ (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6156, 59, 60sylancl 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6254, 61eleqtrrd 2832 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4632  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216   MndHom cmhm 18745  SubMndcsubmnd 18746  Grpcgrp 18897   GrpHom cghm 19174  Abelcabl 19743  mulGrpcmgp 20081  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  Unitcui 20301  β„‚fldccnfld 21286  β„€/nβ„€czn 21435  DChrcdchr 27185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zn 21439  df-dchr 27186
This theorem is referenced by:  dchrabs  27213  sum2dchr  27227
  Copyright terms: Public domain W3C validator