MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrghm 25194
Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of ℤ/n is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrghm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrghm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrghm.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrghm.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrghm.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
dchrghm.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrghm (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))

Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrghm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrghm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
41, 2, 3dchrmhm 25179 . . . . 5 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
5 dchrghm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
64, 5sseldi 3796 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
71, 3dchrrcl 25178 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnnn0d 11613 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
102zncrng 20096 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
12 crngring 18756 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
14 dchrghm.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑍)
15 eqid 2806 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
1614, 15unitsubm 18868 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍)))
1713, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍)))
18 dchrghm.h . . . . 5 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
1918resmhm 17560 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑍))) → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
206, 17, 19syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
21 cnring 19972 . . . . 5 fld ∈ Ring
22 cnfldbas 19954 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
23 cnfld0 19974 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
24 cndrng 19979 . . . . . . 7 fld ∈ DivRing
2522, 23, 24drngui 18953 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
26 eqid 2806 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2725, 26unitsubm 18868 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
29 df-ima 5324 . . . . 5 (𝑋𝑈) = ran (𝑋𝑈)
30 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
311, 2, 3, 30, 5dchrf 25180 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
3230, 14unitss 18858 . . . . . . . . . 10 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
3332sseli 3794 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑈𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
34 ffvelrn 6575 . . . . . . . . 9 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
3531, 33, 34syl2an 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
36 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
375adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑋𝐷)
3833adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 25188 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑈) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥𝑈))
4036, 39mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
41 eldifsn 4508 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0))
4235, 40, 41sylanbrc 574 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4342ralrimiva 3154 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4431ffund 6256 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝑋)
4531fdmd 6261 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑋 = (Base‘𝑍))
4632, 45syl5sseqr 3851 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ dom 𝑋)
47 funimass4 6464 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋𝑈 ⊆ dom 𝑋) → ((𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0})))
4844, 46, 47syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑥𝑈 (𝑋𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0})))
4943, 48mpbird 248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5029, 49syl5eqssr 3847 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
51 dchrghm.m . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5251resmhm2b 17562 . . . 4 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ran (𝑋𝑈) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5328, 50, 52sylancr 577 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀)))
5420, 53mpbid 223 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 MndHom 𝑀))
5514, 18unitgrp 18865 . . . 4 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5613, 55syl 17 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
5751cnmgpabl 20011 . . . 4 𝑀 ∈ Abel
58 ablgrp 18395 . . . 4 (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
5957, 58ax-mp 5 . . 3 𝑀 ∈ Grp
60 ghmmhmb 17869 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) → (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6156, 59, 60sylancl 576 . 2 (𝜑 → (𝐻 GrpHom 𝑀) = (𝐻 MndHom 𝑀))
6254, 61eleqtrrd 2888 1 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (𝐻 GrpHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  cdif 3766  wss 3769  {csn 4370  dom cdm 5311  ran crn 5312  cres 5313  cima 5314  Fun wfun 6091  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  cn 11301  0cn0 11555  Basecbs 16064  s cress 16065   MndHom cmhm 17534  SubMndcsubmnd 17535  Grpcgrp 17623   GrpHom cghm 17855  Abelcabl 18391  mulGrpcmgp 18687  Ringcrg 18745  CRingccrg 18746  Unitcui 18837  fldccnfld 19950  ℤ/nczn 20055  DChrcdchr 25170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-tpos 7583  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-ec 7977  df-qs 7981  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-fz 12546  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16303  df-imas 16369  df-qus 16370  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17789  df-nsg 17790  df-eqg 17791  df-ghm 17856  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-drng 18949  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19175  df-sra 19377  df-rgmod 19378  df-lidl 19379  df-rsp 19380  df-2idl 19437  df-cnfld 19951  df-zring 20023  df-zn 20059  df-dchr 25171
This theorem is referenced by:  dchrabs  25198  sum2dchr  25212
  Copyright terms: Public domain W3C validator