Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchreq 25821
 Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrresb.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrresb.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrresb.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrresb.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrresb.Y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchreq (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 eldif 3923 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈))
2 dchrresb.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrresb.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrresb.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6 dchrresb.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7 dchrresb.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
87adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑋𝐷)
9 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
102, 3, 4, 5, 6, 8, 9dchrn0 25813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
1110biimpd 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
1211necon1bd 3024 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑋𝑘) = 0))
1312impr 457 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈)) → (𝑋𝑘) = 0)
141, 13sylan2b 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑋𝑘) = 0)
15 dchrresb.Y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐷)
1615adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑌𝐷)
172, 3, 4, 5, 6, 16, 9dchrn0 25813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑌𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
1817biimpd 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑌𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
1918necon1bd 3024 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑌𝑘) = 0))
2019impr 457 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈)) → (𝑌𝑘) = 0)
211, 20sylan2b 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑌𝑘) = 0)
2214, 21eqtr4d 2858 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
2322ralrimiva 3169 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
242, 3, 4, 5, 7dchrf 25805 . . . . 5 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
2524ffnd 6491 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
262, 3, 4, 5, 15dchrf 25805 . . . . 5 (𝜑𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
2726ffnd 6491 . . . 4 (𝜑𝑌 Fn (Base‘𝑍))
28 eqfnfv 6778 . . . 4 ((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
2925, 27, 28syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
305, 6unitss 19389 . . . . . 6 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
31 undif 4406 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑍) ↔ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) = (Base‘𝑍))
3230, 31mpbi 232 . . . . 5 (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) = (Base‘𝑍)
3332raleqi 3396 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈))(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
34 ralunb 4146 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈))(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
3533, 34bitr3i 279 . . 3 (∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
3629, 35syl6bb 289 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))))
3723, 36mpbiran2d 706 1 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∀wral 3125   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913   Fn wfn 6326  ‘cfv 6331  ℂcc 10513  0cc0 10515  Basecbs 16462  Unitcui 19368  ℤ/nℤczn 20626  DChrcdchr 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-ec 8269  df-qs 8273  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-imas 16760  df-qus 16761  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-nsg 18256  df-eqg 18257  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-lidl 19922  df-rsp 19923  df-2idl 19981  df-cnfld 20522  df-zring 20594  df-zn 20630  df-dchr 25796 This theorem is referenced by:  dchrresb  25822  dchrinv  25824  dchrsum2  25831
 Copyright terms: Public domain W3C validator