MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchreq 27142
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrresb.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrresb.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrresb.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrresb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrresb.Y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchreq (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑁(π‘˜)
Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 eldif 3953 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2 dchrresb.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrresb.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrresb.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
6 dchrresb.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
7 dchrresb.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
102, 3, 4, 5, 6, 8, 9dchrn0 27134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1110biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1211necon1bd 2952 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0))
1312impr 454 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
141, 13sylan2b 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
15 dchrresb.Y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
172, 3, 4, 5, 6, 16, 9dchrn0 27134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1817biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1918necon1bd 2952 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0))
2019impr 454 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
211, 20sylan2b 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
2214, 21eqtr4d 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
2322ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
242, 3, 4, 5, 7dchrf 27126 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2524ffnd 6711 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘))
262, 3, 4, 5, 15dchrf 27126 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2726ffnd 6711 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘))
28 eqfnfv 7025 . . . 4 ((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
2925, 27, 28syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
305, 6unitss 20276 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
31 undif 4476 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘) ↔ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘))
3230, 31mpbi 229 . . . . 5 (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘)
3332raleqi 3317 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
34 ralunb 4186 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3533, 34bitr3i 277 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3629, 35bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))))
3723, 36mpbiran2d 705 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943   Fn wfn 6531  β€˜cfv 6536  β„‚cc 11107  0cc0 11109  Basecbs 17151  Unitcui 20255  β„€/nβ„€czn 21385  DChrcdchr 27116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-nsg 19049  df-eqg 19050  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21065  df-rsp 21066  df-2idl 21105  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-zn 21389  df-dchr 27117
This theorem is referenced by:  dchrresb  27143  dchrinv  27145  dchrsum2  27152
  Copyright terms: Public domain W3C validator