MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchreq 26622
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrresb.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrresb.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrresb.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrresb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrresb.Y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchreq (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 eldif 3925 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2 dchrresb.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrresb.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrresb.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
6 dchrresb.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
7 dchrresb.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
102, 3, 4, 5, 6, 8, 9dchrn0 26614 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1110biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1211necon1bd 2962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0))
1312impr 456 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
141, 13sylan2b 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
15 dchrresb.Y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
1615adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
172, 3, 4, 5, 6, 16, 9dchrn0 26614 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1817biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1918necon1bd 2962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0))
2019impr 456 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
211, 20sylan2b 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
2214, 21eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
2322ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
242, 3, 4, 5, 7dchrf 26606 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2524ffnd 6674 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘))
262, 3, 4, 5, 15dchrf 26606 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2726ffnd 6674 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘))
28 eqfnfv 6987 . . . 4 ((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
2925, 27, 28syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
305, 6unitss 20096 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
31 undif 4446 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘) ↔ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘))
3230, 31mpbi 229 . . . . 5 (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘)
3332raleqi 3314 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
34 ralunb 4156 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3533, 34bitr3i 277 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3629, 35bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))))
3723, 36mpbiran2d 707 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  0cc0 11058  Basecbs 17090  Unitcui 20075  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrresb  26623  dchrinv  26625  dchrsum2  26632
  Copyright terms: Public domain W3C validator