MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchreq 27209
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrresb.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrresb.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrresb.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrresb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrresb.Y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchreq (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑁(π‘˜)
Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 eldif 3957 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2 dchrresb.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrresb.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrresb.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
6 dchrresb.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
7 dchrresb.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
102, 3, 4, 5, 6, 8, 9dchrn0 27201 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1110biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1211necon1bd 2954 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0))
1312impr 453 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
141, 13sylan2b 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
15 dchrresb.Y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
1615adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
172, 3, 4, 5, 6, 16, 9dchrn0 27201 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1817biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1918necon1bd 2954 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0))
2019impr 453 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
211, 20sylan2b 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
2214, 21eqtr4d 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
2322ralrimiva 3142 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
242, 3, 4, 5, 7dchrf 27193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2524ffnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘))
262, 3, 4, 5, 15dchrf 27193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2726ffnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘))
28 eqfnfv 7043 . . . 4 ((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
2925, 27, 28syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
305, 6unitss 20320 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
31 undif 4483 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘) ↔ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘))
3230, 31mpbi 229 . . . . 5 (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘)
3332raleqi 3319 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
34 ralunb 4191 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3533, 34bitr3i 276 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3629, 35bitrdi 286 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))))
3723, 36mpbiran2d 706 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947   Fn wfn 6546  β€˜cfv 6551  β„‚cc 11142  0cc0 11144  Basecbs 17185  Unitcui 20299  β„€/nβ„€czn 21433  DChrcdchr 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-imas 17495  df-qus 17496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-nsg 19084  df-eqg 19085  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-lidl 21109  df-rsp 21110  df-2idl 21149  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zn 21437  df-dchr 27184
This theorem is referenced by:  dchrresb  27210  dchrinv  27212  dchrsum2  27219
  Copyright terms: Public domain W3C validator