MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchreq 27311
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrresb.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrresb.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrresb.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrresb.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrresb.Y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchreq (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 eldif 3980 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈))
2 dchrresb.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrresb.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrresb.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
6 dchrresb.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7 dchrresb.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑋𝐷)
9 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
102, 3, 4, 5, 6, 8, 9dchrn0 27303 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
1110biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
1211necon1bd 2960 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑋𝑘) = 0))
1312impr 454 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈)) → (𝑋𝑘) = 0)
141, 13sylan2b 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑋𝑘) = 0)
15 dchrresb.Y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐷)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑌𝐷)
172, 3, 4, 5, 6, 16, 9dchrn0 27303 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑌𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
1817biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑌𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
1918necon1bd 2960 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑌𝑘) = 0))
2019impr 454 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈)) → (𝑌𝑘) = 0)
211, 20sylan2b 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑌𝑘) = 0)
2214, 21eqtr4d 2777 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
2322ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
242, 3, 4, 5, 7dchrf 27295 . . . . 5 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
2524ffnd 6747 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
262, 3, 4, 5, 15dchrf 27295 . . . . 5 (𝜑𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
2726ffnd 6747 . . . 4 (𝜑𝑌 Fn (Base‘𝑍))
28 eqfnfv 7062 . . . 4 ((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
2925, 27, 28syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
305, 6unitss 20397 . . . . . 6 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
31 undif 4501 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑍) ↔ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) = (Base‘𝑍))
3230, 31mpbi 230 . . . . 5 (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) = (Base‘𝑍)
3332raleqi 3327 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈))(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
34 ralunb 4214 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈))(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
3533, 34bitr3i 277 . . 3 (∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
3629, 35bitrdi 287 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))))
3723, 36mpbiran2d 707 1 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  wral 3063  cdif 3967  cun 3968  wss 3970   Fn wfn 6567  cfv 6572  cc 11178  0cc0 11180  Basecbs 17253  Unitcui 20376  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-addf 11259  ax-mulf 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-ec 8761  df-qs 8765  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17496  df-imas 17563  df-qus 17564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-nsg 19159  df-eqg 19160  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zn 21535  df-dchr 27286
This theorem is referenced by:  dchrresb  27312  dchrinv  27314  dchrsum2  27321
  Copyright terms: Public domain W3C validator