MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchreq 25335
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrresb.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrresb.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrresb.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrresb.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrresb.Y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchreq (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrresb.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrresb.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2799 . . . . . 6 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrresb.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 25319 . . . . 5 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
76ffnd 6257 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
8 dchrresb.Y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐷)
91, 2, 3, 4, 8dchrf 25319 . . . . 5 (𝜑𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
109ffnd 6257 . . . 4 (𝜑𝑌 Fn (Base‘𝑍))
11 eqfnfv 6537 . . . 4 ((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
127, 10, 11syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
13 dchrresb.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑍)
144, 13unitss 18976 . . . . . 6 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
15 undif 4243 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑍) ↔ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) = (Base‘𝑍))
1614, 15mpbi 222 . . . . 5 (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) = (Base‘𝑍)
1716raleqi 3325 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈))(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
18 ralunb 3992 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (𝑈 ∪ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈))(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
1917, 18bitr3i 269 . . 3 (∀𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
2012, 19syl6bb 279 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))))
21 eldif 3779 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈))
225adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑋𝐷)
23 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
241, 2, 3, 4, 13, 22, 23dchrn0 25327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
2524biimpd 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2625necon1bd 2989 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑋𝑘) = 0))
2726impr 447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈)) → (𝑋𝑘) = 0)
2821, 27sylan2b 588 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑋𝑘) = 0)
298adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑌𝐷)
301, 2, 3, 4, 13, 29, 23dchrn0 25327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑌𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
3130biimpd 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑌𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
3231necon1bd 2989 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑌𝑘) = 0))
3332impr 447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝑈)) → (𝑌𝑘) = 0)
3421, 33sylan2b 588 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑌𝑘) = 0)
3528, 34eqtr4d 2836 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)) → (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
3635ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))
3736biantrud 528 . 2 (𝜑 → (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ↔ (∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘) ∧ ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑍) ∖ 𝑈)(𝑋𝑘) = (𝑌𝑘))))
3820, 37bitr4d 274 1 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  cdif 3766  cun 3767  wss 3769   Fn wfn 6096  cfv 6101  cc 10222  0cc0 10224  Basecbs 16184  Unitcui 18955  ℤ/nczn 20173  DChrcdchr 25309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-ec 7984  df-qs 7988  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-imas 16483  df-qus 16484  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-nsg 17905  df-eqg 17906  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-lidl 19497  df-rsp 19498  df-2idl 19555  df-cnfld 20069  df-zring 20141  df-zn 20177  df-dchr 25310
This theorem is referenced by:  dchrresb  25336  dchrinv  25338  dchrsum2  25345
  Copyright terms: Public domain W3C validator