MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchreq 26758
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrresb.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrresb.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrresb.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrresb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrresb.Y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchreq (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑁(π‘˜)
Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 eldif 3958 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2 dchrresb.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrresb.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrresb.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
6 dchrresb.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
7 dchrresb.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
102, 3, 4, 5, 6, 8, 9dchrn0 26750 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1110biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1211necon1bd 2958 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0))
1312impr 455 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
141, 13sylan2b 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
15 dchrresb.Y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
172, 3, 4, 5, 6, 16, 9dchrn0 26750 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1817biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
1918necon1bd 2958 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0))
2019impr 455 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
211, 20sylan2b 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
2214, 21eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
2322ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
242, 3, 4, 5, 7dchrf 26742 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2524ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘))
262, 3, 4, 5, 15dchrf 26742 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
2726ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘))
28 eqfnfv 7032 . . . 4 ((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
2925, 27, 28syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
305, 6unitss 20189 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
31 undif 4481 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘) ↔ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘))
3230, 31mpbi 229 . . . . 5 (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘)
3332raleqi 3323 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
34 ralunb 4191 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘ˆ βˆͺ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ))(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3533, 34bitr3i 276 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
3629, 35bitrdi 286 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜π‘) βˆ– π‘ˆ)(π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜))))
3723, 36mpbiran2d 706 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  β„‚cc 11107  0cc0 11109  Basecbs 17143  Unitcui 20168  β„€/nβ„€czn 21051  DChrcdchr 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zn 21055  df-dchr 26733
This theorem is referenced by:  dchrresb  26759  dchrinv  26761  dchrsum2  26768
  Copyright terms: Public domain W3C validator