Theorem dchrsum 27222

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrsum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
dchrsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝐵,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
3	1, 2	unitss 20322	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵)
5		dchrsum.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrsum.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7		dchrsum.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		dchrsum.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	5, 6, 7, 1, 8	dchrf 27195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
10	3	sseli 3978	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		ffvelcdm 7096	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
13		eldif 3959	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
14	8	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
15		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16	5, 6, 7, 1, 2, 14, 15	dchrn0 27203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 ↔ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
17	16	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 → 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
18	17	necon1bd 2955	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝑋‘𝑎) = 0))
19	18	impr 453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
20	13, 19	sylan2b 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
21	5, 7	dchrrcl 27193	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
22	6, 1	znfi 21500	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
23	8, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
24	4, 12, 20, 23	fsumss 15711	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎))
25		dchrsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
26	5, 6, 7, 25, 8, 2	dchrsum2 27221	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
27	24, 26	eqtr3d 2770	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ifcif 4532  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  Fincfn 8970  ℂcc 11144  0cc0 11146  ℕcn 12250  Σcsu 15672  ϕcphi 16740  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  Unitcui 20301  ℤ/nℤczn 21435  DChrcdchr 27185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-phi 16742  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-zn 21439  df-dchr 27186

This theorem is referenced by:  dchrhash  27224  dchr2sum  27226  dchrisumlem1  27442