Theorem dchrsum 27559

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrsum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
dchrsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝐵,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
3	1, 2	unitss 20567	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵)
5		dchrsum.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrsum.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7		dchrsum.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		dchrsum.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	5, 6, 7, 1, 8	dchrf 27532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
10	3	sseli 3926	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		ffvelcdm 7069	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
13		eldif 3908	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
14	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
15		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16	5, 6, 7, 1, 2, 14, 15	dchrn0 27540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 ↔ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
17	16	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 → 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
18	17	necon1bd 2973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝑋‘𝑎) = 0))
19	18	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
20	13, 19	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
21	5, 7	dchrrcl 27530	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
22	6, 1	znfi 21826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
23	8, 21, 22	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
24	4, 12, 20, 23	fsumss 15858	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎))
25		dchrsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
26	5, 6, 7, 25, 8, 2	dchrsum2 27558	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
27	24, 26	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ifcif 4481  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  Fincfn 8951  ℂcc 11169  0cc0 11171  ℕcn 12304  Σcsu 15820  ϕcphi 16902  Basecbs 17348  0_gc0g 17571  Unitcui 20546  ℤ/nℤczn 21769  DChrcdchr 27522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-sum 15821  df-dvds 16390  df-gcd 16632  df-phi 16904  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-0g 17573  df-imas 17641  df-qus 17642  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-nsg 19295  df-eqg 19296  df-ghm 19389  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-rhm 20663  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-rsp 21448  df-2idl 21504  df-cnfld 21640  df-zring 21714  df-zrh 21770  df-zn 21773  df-dchr 27523

This theorem is used by:  dchrhash  27561  dchr2sum  27563  dchrisumlem1  27779