MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum 26633
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrsum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrsum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrsum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrsum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   1 ,π‘Ž   𝐡,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
2 eqid 2737 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
31, 2unitss 20096 . . . 4 (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡)
5 dchrsum.g . . . . 5 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 dchrsum.z . . . . 5 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 dchrsum.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 dchrsum.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
95, 6, 7, 1, 8dchrf 26606 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
103sseli 3945 . . . 4 (π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
11 ffvelcdm 7037 . . . 4 ((𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
129, 10, 11syl2an 597 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
13 eldif 3925 . . . 4 (π‘Ž ∈ (𝐡 βˆ– (Unitβ€˜π‘)) ↔ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
148adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 26614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) β‰  0 ↔ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
1716biimpd 228 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) β‰  0 β†’ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
1817necon1bd 2962 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
1918impr 456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
2013, 19sylan2b 595 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 βˆ– (Unitβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
215, 7dchrrcl 26604 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
226, 1znfi 20982 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ Fin)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
244, 12, 20, 23fsumss 15617 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž))
25 dchrsum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 26632 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
2724, 26eqtr3d 2779 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  0cc0 11058  β„•cn 12160  Ξ£csu 15577  Ο•cphi 16643  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Unitcui 20075  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-phi 16645  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrhash  26635  dchr2sum  26637  dchrisumlem1  26853
  Copyright terms: Public domain W3C validator