Theorem dchrsum 27299

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrsum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
dchrsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝐵,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
2		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
3	1, 2	unitss 20393	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵)
5		dchrsum.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrsum.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7		dchrsum.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		dchrsum.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	5, 6, 7, 1, 8	dchrf 27272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
10	3	sseli 3923	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		ffvelcdm 7047	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
13		eldif 3905	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
14	8	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
15		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16	5, 6, 7, 1, 2, 14, 15	dchrn0 27280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 ↔ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
17	16	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 → 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
18	17	necon1bd 2965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝑋‘𝑎) = 0))
19	18	impr 457	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
20	13, 19	sylan2b 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
21	5, 7	dchrrcl 27270	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
22	6, 1	znfi 21580	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
23	8, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
24	4, 12, 20, 23	fsumss 15724	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎))
25		dchrsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
26	5, 6, 7, 25, 8, 2	dchrsum2 27298	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
27	24, 26	eqtr3d 2789	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947   ∖ cdif 3892   ⊆ wss 3895  ifcif 4470  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  Fincfn 8912  ℂcc 11057  0cc0 11059  ℕcn 12196  Σcsu 15685  ϕcphi 16771  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  Unitcui 20372  ℤ/nℤczn 21523  DChrcdchr 27262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-oadd 8425  df-er 8662  df-ec 8664  df-qs 8668  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15487  df-sum 15686  df-dvds 16259  df-gcd 16501  df-phi 16773  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-0g 17442  df-imas 17510  df-qus 17511  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-ghm 19226  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-lidl 21247  df-rsp 21248  df-2idl 21289  df-cnfld 21394  df-zring 21468  df-zrh 21524  df-zn 21527  df-dchr 27263

This theorem is referenced by:  dchrhash  27301  dchr2sum  27303  dchrisumlem1  27519