MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum 27152
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrsum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrsum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrsum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrsum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   1 ,π‘Ž   𝐡,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
31, 2unitss 20275 . . . 4 (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡)
5 dchrsum.g . . . . 5 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 dchrsum.z . . . . 5 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 dchrsum.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 dchrsum.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
95, 6, 7, 1, 8dchrf 27125 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
103sseli 3973 . . . 4 (π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
11 ffvelcdm 7076 . . . 4 ((𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
129, 10, 11syl2an 595 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
13 eldif 3953 . . . 4 (π‘Ž ∈ (𝐡 βˆ– (Unitβ€˜π‘)) ↔ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
148adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 27133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) β‰  0 ↔ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
1716biimpd 228 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) β‰  0 β†’ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
1817necon1bd 2952 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
1918impr 454 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
2013, 19sylan2b 593 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 βˆ– (Unitβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
215, 7dchrrcl 27123 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
226, 1znfi 21449 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ Fin)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
244, 12, 20, 23fsumss 15674 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž))
25 dchrsum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 27151 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
2724, 26eqtr3d 2768 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  0cc0 11109  β„•cn 12213  Ξ£csu 15635  Ο•cphi 16703  Basecbs 17150  0gc0g 17391  Unitcui 20254  β„€/nβ„€czn 21384  DChrcdchr 27115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-phi 16705  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-nsg 19048  df-eqg 19049  df-ghm 19136  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-lidl 21064  df-rsp 21065  df-2idl 21104  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zrh 21385  df-zn 21388  df-dchr 27116
This theorem is referenced by:  dchrhash  27154  dchr2sum  27156  dchrisumlem1  27372
  Copyright terms: Public domain W3C validator