MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum 27222
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrsum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrsum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrsum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrsum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   1 ,π‘Ž   𝐡,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
31, 2unitss 20322 . . . 4 (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡)
5 dchrsum.g . . . . 5 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 dchrsum.z . . . . 5 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 dchrsum.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 dchrsum.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
95, 6, 7, 1, 8dchrf 27195 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
103sseli 3978 . . . 4 (π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
11 ffvelcdm 7096 . . . 4 ((𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
129, 10, 11syl2an 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
13 eldif 3959 . . . 4 (π‘Ž ∈ (𝐡 βˆ– (Unitβ€˜π‘)) ↔ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
148adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 27203 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) β‰  0 ↔ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
1716biimpd 228 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) β‰  0 β†’ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)))
1817necon1bd 2955 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
1918impr 453 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
2013, 19sylan2b 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 βˆ– (Unitβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
215, 7dchrrcl 27193 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
226, 1znfi 21500 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ Fin)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
244, 12, 20, 23fsumss 15711 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž))
25 dchrsum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 27221 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
2724, 26eqtr3d 2770 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  0cc0 11146  β„•cn 12250  Ξ£csu 15672  Ο•cphi 16740  Basecbs 17187  0gc0g 17428  Unitcui 20301  β„€/nβ„€czn 21435  DChrcdchr 27185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-phi 16742  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-zn 21439  df-dchr 27186
This theorem is referenced by:  dchrhash  27224  dchr2sum  27226  dchrisumlem1  27442
  Copyright terms: Public domain W3C validator