MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum 27327
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1 1 = (0g𝐺)
dchrsum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrsum.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrsum (𝜑 → Σ𝑎𝐵 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝐵,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
2 eqid 2734 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
31, 2unitss 20392 . . . 4 (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵)
5 dchrsum.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6 dchrsum.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7 dchrsum.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
8 dchrsum.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
95, 6, 7, 1, 8dchrf 27300 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
103sseli 3990 . . . 4 (𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑎𝐵)
11 ffvelcdm 7100 . . . 4 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎𝐵) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
129, 10, 11syl2an 596 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
13 eldif 3972 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍)) ↔ (𝑎𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
148adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐷)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 27308 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑎) ≠ 0 ↔ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
1716biimpd 229 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑎) ≠ 0 → 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
1817necon1bd 2955 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝑋𝑎) = 0))
1918impr 454 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍))) → (𝑋𝑎) = 0)
2013, 19sylan2b 594 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍))) → (𝑋𝑎) = 0)
215, 7dchrrcl 27298 . . . 4 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
226, 1znfi 21595 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
244, 12, 20, 23fsumss 15757 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋𝑎) = Σ𝑎𝐵 (𝑋𝑎))
25 dchrsum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 27326 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
2724, 26eqtr3d 2776 1 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530  wf 6558  cfv 6562  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152  cn 12263  Σcsu 15718  ϕcphi 16797  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Unitcui 20371  ℤ/nczn 21530  DChrcdchr 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-phi 16799  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-dchr 27291
This theorem is referenced by:  dchrhash  27329  dchr2sum  27331  dchrisumlem1  27547
  Copyright terms: Public domain W3C validator