Theorem dchrsum 27240

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrsum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
dchrsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝐵,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
3	1, 2	unitss 20316	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵)
5		dchrsum.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrsum.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7		dchrsum.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		dchrsum.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	5, 6, 7, 1, 8	dchrf 27213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
10	3	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11		ffvelcdm 7028	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)) → (𝑋‘𝑎) ∈ ℂ)
13		eldif 3912	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
14	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16	5, 6, 7, 1, 2, 14, 15	dchrn0 27221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 ↔ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
17	16	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) ≠ 0 → 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
18	17	necon1bd 2951	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝑋‘𝑎) = 0))
19	18	impr 454	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
20	13, 19	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍))) → (𝑋‘𝑎) = 0)
21	5, 7	dchrrcl 27211	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
22	6, 1	znfi 21518	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
23	8, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
24	4, 12, 20, 23	fsumss 15652	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎))
25		dchrsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
26	5, 6, 7, 25, 8, 2	dchrsum2 27239	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
27	24, 26	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 (𝑋‘𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4480  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  Fincfn 8887  ℂcc 11028  0cc0 11030  ℕcn 12149  Σcsu 15613  ϕcphi 16695  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  Unitcui 20295  ℤ/nℤczn 21461  DChrcdchr 27203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-phi 16697  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zn 21465  df-dchr 27204

This theorem is referenced by:  dchrhash  27242  dchr2sum  27244  dchrisumlem1  27460