Theorem unitdivcld 34092

Description: Necessary conditions for a quotient to be in the closed unit interval. (somewhat too strong, it would be sufficient that A and B are in RR+) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitdivcld	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem unitdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitrn 13418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		elunitrn 13418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simp3 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 4, 5	redivcld 11981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 34090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
10		elunitge0 34090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐵)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐵)
12		0re 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltlen 11245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
14	12, 3, 13	sylancr 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
15	14	biimpar 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝐵)
16	15	3impb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
17	16	3com23 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵)
18	11, 17	mpd3an3 1470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
19	18	3adant1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
20		divge0 12023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	2, 9, 4, 19, 20	syl22anc 844	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
23		1red 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
24		ledivmul 12030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
25	2, 23, 4, 19, 24	syl112anc 1382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
26		ax-1rid 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
27	26	breq2d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
28	4, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
29	25, 28	bitr2d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
30	29	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
31	7, 22, 30	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
32	31	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
33		simp3 1144	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
34	33, 29	imbitrrid 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵))
35	32, 34	impbid 213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
36		elicc01 13417	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
37	35, 36	bitr4di 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   / cdiv 11805  [,]cicc 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-icc 13303

This theorem is referenced by:  cndprob01  34626