Theorem unitdivcld 32482

Description: Necessary conditions for a quotient to be in the closed unit interval. (somewhat too strong, it would be sufficient that A and B are in RR+) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitdivcld	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem unitdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitrn 13384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		elunitrn 13384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 4, 5	redivcld 11983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 32480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
10		elunitge0 32480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐵)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐵)
12		0re 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltlen 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
14	12, 3, 13	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
15	14	biimpar 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝐵)
16	15	3impb 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
17	16	3com23 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵)
18	11, 17	mpd3an3 1462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
19	18	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
20		divge0 12024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	2, 9, 4, 19, 20	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
23		1red 11156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
24		ledivmul 12031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
25	2, 23, 4, 19, 24	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
26		ax-1rid 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
27	26	breq2d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
28	4, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
29	25, 28	bitr2d 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
30	29	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
31	7, 22, 30	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
32	31	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
33		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
34	33, 29	syl5ibr 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵))
35	32, 34	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
36		elicc01 13383	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
37	35, 36	bitr4di 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  [,]cicc 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-icc 13271

This theorem is referenced by:  cndprob01  33035