Theorem unitdivcld 32881

Description: Necessary conditions for a quotient to be in the closed unit interval. (somewhat too strong, it would be sufficient that A and B are in RR+) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitdivcld	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem unitdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitrn 13444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		elunitrn 13444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 4, 5	redivcld 12042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 32879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
10		elunitge0 32879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐵)
11	10	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐵)
12		0re 11216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltlen 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
14	12, 3, 13	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
15	14	biimpar 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝐵)
16	15	3impb 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
17	16	3com23 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵)
18	11, 17	mpd3an3 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
19	18	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
20		divge0 12083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	2, 9, 4, 19, 20	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	21	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
23		1red 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
24		ledivmul 12090	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
25	2, 23, 4, 19, 24	syl112anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
26		ax-1rid 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
27	26	breq2d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
28	4, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
29	25, 28	bitr2d 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
30	29	biimpa 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
31	7, 22, 30	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
32	31	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
33		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
34	33, 29	imbitrrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵))
35	32, 34	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
36		elicc01 13443	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
37	35, 36	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   / cdiv 11871  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  cndprob01  33434