Theorem unitdivcld 34272

Description: Necessary conditions for a quotient to be in the closed unit interval. (somewhat too strong, it would be sufficient that A and B are in RR+) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitdivcld	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem unitdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitrn 13495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		elunitrn 13495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 4, 5	redivcld 12044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 34270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
10		elunitge0 34270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐵)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐵)
12		0re 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltlen 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
14	12, 3, 13	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
15	14	biimpar 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝐵)
16	15	3impb 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
17	16	3com23 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵)
18	11, 17	mpd3an3 1491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
19	18	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
20		divge0 12085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	2, 9, 4, 19, 20	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
23		1red 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
24		ledivmul 12092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
25	2, 23, 4, 19, 24	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
26		ax-1rid 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
27	26	breq2d 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
28	4, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
29	25, 28	bitr2d 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
30	29	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
31	7, 22, 30	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
32	31	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
33		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
34	33, 29	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵))
35	32, 34	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
36		elicc01 13494	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
37	35, 36	bitr4di 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  cndprob01  34806