Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitdivcld 33176
Description: Necessary conditions for a quotient to be in the closed unit interval. (somewhat too strong, it would be sufficient that A and B are in RR+) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
unitdivcld ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1)))

Proof of Theorem unitdivcld
StepHypRef Expression
1 elunitrn 13449 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
213ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 elunitrn 13449 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
433ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 simp3 1137 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
62, 4, 5redivcld 12047 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
76adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
8 elunitge0 33174 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
983ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
10 elunitge0 33174 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
12 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
13 ltlen 11320 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)))
1412, 3, 13sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ (0[,]1) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)))
1514biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 < ๐ต)
16153impb 1114 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง 0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ต)
17163com23 1125 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
1811, 17mpd3an3 1461 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ต)
19183adant1 1129 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ต)
20 divge0 12088 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
212, 9, 4, 19, 20syl22anc 836 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2221adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
23 1red 11220 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
24 ledivmul 12095 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1)))
252, 23, 4, 19, 24syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1)))
26 ax-1rid 11183 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
2726breq2d 5161 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
284, 27syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
2925, 28bitr2d 279 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
3029biimpa 476 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)
317, 22, 303jca 1127 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
3231ex 412 . . 3 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)))
33 simp3 1137 . . . 4 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)
3433, 29imbitrrid 245 . . 3 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
3532, 34impbid 211 . 2 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)))
36 elicc01 13448 . 2 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1) โ†” ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
3735, 36bitr4di 288 1 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   / cdiv 11876  [,]cicc 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-icc 13336
This theorem is referenced by:  cndprob01  33729
  Copyright terms: Public domain W3C validator