Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitdivcld 33179
Description: Necessary conditions for a quotient to be in the closed unit interval. (somewhat too strong, it would be sufficient that A and B are in RR+) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
unitdivcld ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1)))

Proof of Theorem unitdivcld
StepHypRef Expression
1 elunitrn 13448 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
213ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 elunitrn 13448 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
433ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 simp3 1136 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
62, 4, 5redivcld 12046 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
76adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
8 elunitge0 33177 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
983ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
10 elunitge0 33177 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
1110adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
12 0re 11220 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
13 ltlen 11319 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)))
1412, 3, 13sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ (0[,]1) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)))
1514biimpar 476 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 < ๐ต)
16153impb 1113 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง 0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ต)
17163com23 1124 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
1811, 17mpd3an3 1460 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ต)
19183adant1 1128 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ต)
20 divge0 12087 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
212, 9, 4, 19, 20syl22anc 835 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2221adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
23 1red 11219 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
24 ledivmul 12094 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1)))
252, 23, 4, 19, 24syl112anc 1372 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1)))
26 ax-1rid 11182 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
2726breq2d 5159 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
284, 27syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต ยท 1) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
2925, 28bitr2d 279 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
3029biimpa 475 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)
317, 22, 303jca 1126 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
3231ex 411 . . 3 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)))
33 simp3 1136 . . . 4 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)
3433, 29imbitrrid 245 . . 3 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
3532, 34impbid 211 . 2 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1)))
36 elicc01 13447 . 2 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1) โ†” ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰ค 1))
3735, 36bitr4di 288 1 ((๐ด โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ (0[,]1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  cndprob01  33732
  Copyright terms: Public domain W3C validator