Theorem 0e0iccpnf 13401

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11181	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 12271	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 13399	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  0cc0 11027  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  [,]cicc 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-addrcl 11088  ax-rnegex 11098  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13294

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21431  itg2const2  25717  itg2splitlem  25724  itg2split  25725  itg2gt0  25736  itg2cnlem2  25738  itg2cn  25739  iblss  25781  itgle  25786  itgeqa  25790  ibladdlem  25796  iblabs  25805  iblabsr  25806  iblmulc2  25807  bddmulibl  25815  bddiblnc  25818  xrge0infss  32853  xrge00  33094  unitssxrge0  34065  xrge0mulc1cn  34106  esum0  34214  esumpad  34220  esumpad2  34221  esumrnmpt2  34233  esumpinfval  34238  esummulc1  34246  ddemeas  34401  oms0  34462  itg2gt0cn  38007  ibladdnclem  38008  iblabsnc  38016  iblmulc2nc  38017  ftc1anclem7  38031  ftc1anclem8  38032  ftc1anc  38033  iblsplit  46409  gsumge0cl  46814  sge0cl  46824  sge0ss  46855  0ome  46972  ovnf  47006