Theorem 0e0iccpnf 13359

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11159	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 12226	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 13357	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-icc 13252

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21380  itg2const2  25669  itg2splitlem  25676  itg2split  25677  itg2gt0  25688  itg2cnlem2  25690  itg2cn  25691  iblss  25733  itgle  25738  itgeqa  25742  ibladdlem  25748  iblabs  25757  iblabsr  25758  iblmulc2  25759  bddmulibl  25767  bddiblnc  25770  xrge0infss  32743  xrge00  32995  unitssxrge0  33913  xrge0mulc1cn  33954  esum0  34062  esumpad  34068  esumpad2  34069  esumrnmpt2  34081  esumpinfval  34086  esummulc1  34094  ddemeas  34249  oms0  34310  itg2gt0cn  37714  ibladdnclem  37715  iblabsnc  37723  iblmulc2nc  37724  ftc1anclem7  37738  ftc1anclem8  37739  ftc1anc  37740  iblsplit  46063  gsumge0cl  46468  sge0cl  46478  sge0ss  46509  0ome  46626  ovnf  46660