Theorem 0e0iccpnf 13487

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11257	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 12343	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 13485	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-addrcl 11162  ax-rnegex 11172  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21574  itg2const2  25881  itg2splitlem  25888  itg2split  25889  itg2gt0  25900  itg2cnlem2  25902  itg2cn  25903  iblss  25945  itgle  25950  itgeqa  25954  ibladdlem  25960  iblabs  25969  iblabsr  25970  iblmulc2  25971  bddmulibl  25979  bddiblnc  25982  xrge0infss  33083  xrge00  33312  unitssxrge0  34268  xrge0mulc1cn  34309  esum0  34417  esumpad  34423  esumpad2  34424  esumrnmpt2  34436  esumpinfval  34441  esummulc1  34449  ddemeas  34604  oms0  34665  itg2gt0cn  38304  ibladdnclem  38305  iblabsnc  38313  iblmulc2nc  38314  ftc1anclem7  38328  ftc1anclem8  38329  ftc1anc  38330  iblsplit  46660  gsumge0cl  47065  sge0cl  47075  sge0ss  47106  0ome  47223  ovnf  47257