MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 12533
Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 10376 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 11420 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 12531 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 703 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157   class class class wbr 4844  (class class class)co 6879  0cc0 10225  +∞cpnf 10361  *cxr 10363  cle 10365  [,]cicc 12426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-addrcl 10286  ax-rnegex 10296  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-icc 12430
This theorem is referenced by:  xrge0subm  20108  itg2const2  23848  itg2splitlem  23855  itg2split  23856  itg2gt0  23867  itg2cnlem2  23869  itg2cn  23870  iblss  23911  itgle  23916  itgeqa  23920  ibladdlem  23926  iblabs  23935  iblabsr  23936  iblmulc2  23937  bddmulibl  23945  xrge0infss  30042  xrge00  30201  unitssxrge0  30461  xrge0mulc1cn  30502  esum0  30626  esumpad  30632  esumpad2  30633  esumrnmpt2  30645  esumpinfval  30650  esummulc1  30658  ddemeas  30814  oms0  30874  itg2gt0cn  33952  ibladdnclem  33953  iblabsnc  33961  iblmulc2nc  33962  bddiblnc  33967  ftc1anclem7  33978  ftc1anclem8  33979  ftc1anc  33980  iblsplit  40920  gsumge0cl  41326  sge0cl  41336  sge0ss  41367  0ome  41484  ovnf  41518
  Copyright terms: Public domain W3C validator