Theorem 0e0iccpnf 13469

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11292	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 12344	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 13467	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 710	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  0cc0 11139  +∞cpnf 11276  ℝ^*cxr 11278   ≤ cle 11280  [,]cicc 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-addrcl 11200  ax-rnegex 11210  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-icc 13364

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21340  itg2const2  25684  itg2splitlem  25691  itg2split  25692  itg2gt0  25703  itg2cnlem2  25705  itg2cn  25706  iblss  25747  itgle  25752  itgeqa  25756  ibladdlem  25762  iblabs  25771  iblabsr  25772  iblmulc2  25773  bddmulibl  25781  bddiblnc  25784  xrge0infss  32543  xrge00  32755  unitssxrge0  33501  xrge0mulc1cn  33542  esum0  33668  esumpad  33674  esumpad2  33675  esumrnmpt2  33687  esumpinfval  33692  esummulc1  33700  ddemeas  33855  oms0  33917  itg2gt0cn  37148  ibladdnclem  37149  iblabsnc  37157  iblmulc2nc  37158  ftc1anclem7  37172  ftc1anclem8  37173  ftc1anc  37174  iblsplit  45354  gsumge0cl  45759  sge0cl  45769  sge0ss  45800  0ome  45917  ovnf  45951