Theorem 0e0iccpnf 13617

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11383	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 12471	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 13615	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  0cc0 11227  +∞cpnf 11367  ℝ^*cxr 11369   ≤ cle 11371  [,]cicc 13506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-addrcl 11288  ax-rnegex 11298  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-icc 13510

This theorem is used by:  xrge0subm  21779  itg2const2  26092  itg2splitlem  26099  itg2split  26100  itg2gt0  26111  itg2cnlem2  26113  itg2cn  26114  iblss  26155  itgle  26160  itgeqa  26164  ibladdlem  26170  iblabs  26179  iblabsr  26180  iblmulc2  26181  bddmulibl  26189  bddiblnc  26192  xrge0infss  33422  xrge00  33645  unitssxrge0  34602  xrge0mulc1cn  34643  esum0  34751  esumpad  34757  esumpad2  34758  esumrnmpt2  34770  esumpinfval  34775  esummulc1  34783  ddemeas  34939  oms0  34999  itg2gt0cn  38785  ibladdnclem  38786  iblabsnc  38794  iblmulc2nc  38795  ftc1anclem7  38809  ftc1anclem8  38810  ftc1anc  38811  iblsplit  47181  gsumge0cl  47586  sge0cl  47596  sge0ss  47627  0ome  47744  ovnf  47778