MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 12842
Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 10680 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 11731 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 12840 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 710 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7145  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666  cle 10668  [,]cicc 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-addrcl 10590  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-icc 12738
This theorem is referenced by:  xrge0subm  20579  itg2const2  24341  itg2splitlem  24348  itg2split  24349  itg2gt0  24360  itg2cnlem2  24362  itg2cn  24363  iblss  24404  itgle  24409  itgeqa  24413  ibladdlem  24419  iblabs  24428  iblabsr  24429  iblmulc2  24430  bddmulibl  24438  bddiblnc  24441  xrge0infss  30488  xrge00  30698  unitssxrge0  31168  xrge0mulc1cn  31209  esum0  31333  esumpad  31339  esumpad2  31340  esumrnmpt2  31352  esumpinfval  31357  esummulc1  31365  ddemeas  31520  oms0  31580  itg2gt0cn  35022  ibladdnclem  35023  iblabsnc  35031  iblmulc2nc  35032  ftc1anclem7  35046  ftc1anclem8  35047  ftc1anc  35048  iblsplit  42471  gsumge0cl  42873  sge0cl  42883  sge0ss  42914  0ome  43031  ovnf  43065
  Copyright terms: Public domain W3C validator