Theorem 0e0iccpnf 12837

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10677	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 11726	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 12835	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 710	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  xrge0subm  20132  itg2const2  24345  itg2splitlem  24352  itg2split  24353  itg2gt0  24364  itg2cnlem2  24366  itg2cn  24367  iblss  24408  itgle  24413  itgeqa  24417  ibladdlem  24423  iblabs  24432  iblabsr  24433  iblmulc2  24434  bddmulibl  24442  bddiblnc  24445  xrge0infss  30510  xrge00  30720  unitssxrge0  31253  xrge0mulc1cn  31294  esum0  31418  esumpad  31424  esumpad2  31425  esumrnmpt2  31437  esumpinfval  31442  esummulc1  31450  ddemeas  31605  oms0  31665  itg2gt0cn  35112  ibladdnclem  35113  iblabsnc  35121  iblmulc2nc  35122  ftc1anclem7  35136  ftc1anclem8  35137  ftc1anc  35138  iblsplit  42608  gsumge0cl  43010  sge0cl  43020  sge0ss  43051  0ome  43168  ovnf  43202