Theorem 0e0iccpnf 13377

Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0iccpnf	⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11181	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		0le0 12248	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elxrge0 13375	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  [,]cicc 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13270

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21400  itg2const2  25700  itg2splitlem  25707  itg2split  25708  itg2gt0  25719  itg2cnlem2  25721  itg2cn  25722  iblss  25764  itgle  25769  itgeqa  25773  ibladdlem  25779  iblabs  25788  iblabsr  25789  iblmulc2  25790  bddmulibl  25798  bddiblnc  25801  xrge0infss  32819  xrge00  33075  unitssxrge0  34036  xrge0mulc1cn  34077  esum0  34185  esumpad  34191  esumpad2  34192  esumrnmpt2  34204  esumpinfval  34209  esummulc1  34217  ddemeas  34372  oms0  34433  itg2gt0cn  37845  ibladdnclem  37846  iblabsnc  37854  iblmulc2nc  37855  ftc1anclem7  37869  ftc1anclem8  37870  ftc1anc  37871  iblsplit  46247  gsumge0cl  46652  sge0cl  46662  sge0ss  46693  0ome  46810  ovnf  46844