MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 12835
Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 10676 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 11726 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 12833 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 707 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662  cle 10664  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  xrge0subm  20514  itg2const2  24269  itg2splitlem  24276  itg2split  24277  itg2gt0  24288  itg2cnlem2  24290  itg2cn  24291  iblss  24332  itgle  24337  itgeqa  24341  ibladdlem  24347  iblabs  24356  iblabsr  24357  iblmulc2  24358  bddmulibl  24366  xrge0infss  30410  xrge00  30600  unitssxrge0  31042  xrge0mulc1cn  31083  esum0  31207  esumpad  31213  esumpad2  31214  esumrnmpt2  31226  esumpinfval  31231  esummulc1  31239  ddemeas  31394  oms0  31454  itg2gt0cn  34828  ibladdnclem  34829  iblabsnc  34837  iblmulc2nc  34838  bddiblnc  34843  ftc1anclem7  34854  ftc1anclem8  34855  ftc1anc  34856  iblsplit  42127  gsumge0cl  42530  sge0cl  42540  sge0ss  42571  0ome  42688  ovnf  42722
  Copyright terms: Public domain W3C validator