MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 13304
Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 11135 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 12187 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 13302 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 709 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  *cxr 11121  cle 11123  [,]cicc 13195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-addrcl 11045  ax-rnegex 11055  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-icc 13199
This theorem is referenced by:  xrge0subm  20761  itg2const2  25028  itg2splitlem  25035  itg2split  25036  itg2gt0  25047  itg2cnlem2  25049  itg2cn  25050  iblss  25091  itgle  25096  itgeqa  25100  ibladdlem  25106  iblabs  25115  iblabsr  25116  iblmulc2  25117  bddmulibl  25125  bddiblnc  25128  xrge0infss  31459  xrge00  31671  unitssxrge0  32254  xrge0mulc1cn  32295  esum0  32421  esumpad  32427  esumpad2  32428  esumrnmpt2  32440  esumpinfval  32445  esummulc1  32453  ddemeas  32608  oms0  32670  itg2gt0cn  36028  ibladdnclem  36029  iblabsnc  36037  iblmulc2nc  36038  ftc1anclem7  36052  ftc1anclem8  36053  ftc1anc  36054  iblsplit  43960  gsumge0cl  44365  sge0cl  44375  sge0ss  44406  0ome  44523  ovnf  44557
  Copyright terms: Public domain W3C validator