MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvsz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvsz 29891
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvsz.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvsz.6 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvsz ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
Proof of Theorem nvsz
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (1st β€˜π‘ˆ) = (1st β€˜π‘ˆ)
21nvvc 29868 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (1st β€˜π‘ˆ) ∈ CVecOLD)
3 eqid 2733 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
43vafval 29856 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = (1st β€˜(1st β€˜π‘ˆ))
5 nvsz.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
65smfval 29858 . . . 4 𝑆 = (2nd β€˜(1st β€˜π‘ˆ))
7 eqid 2733 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
87, 3bafval 29857 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = ran ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
9 eqid 2733 . . . 4 (GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ)) = (GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ))
104, 6, 8, 9vcz 29828 . . 3 (((1st β€˜π‘ˆ) ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆(GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ))) = (GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ)))
112, 10sylan 581 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆(GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ))) = (GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ)))
12 nvsz.6 . . . . 5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
133, 120vfval 29859 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 = (GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ)))
1413adantr 482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑍 = (GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ)))
1514oveq2d 7425 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(GIdβ€˜( +𝑣 β€˜π‘ˆ))))
1611, 15, 143eqtr4d 2783 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  β„‚cc 11108  GIdcgi 29743  CVecOLDcvc 29811  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853
This theorem is referenced by:  nvmul0or  29903  nvnd  29941  dip0r  29970  0lno  30043
  Copyright terms: Public domain W3C validator