Theorem xlimcl 45827

Description: The limit of a sequence of extended real numbers is an extended real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xlimcl	⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xlimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 23099	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2		df-xlim 45824	. . . 4 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
3	2	breqi 5116	. . 3 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
4	3	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
5		lmcl 23191	. 2 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1, 4, 5	sylancr 587	1 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  ordTopcordt 17469  TopOnctopon 22804  ⇝_𝑡clm 23120  ~~>*clsxlim 45823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-lm 23123  df-xlim 45824

This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45852  xlimliminflimsup  45867