Theorem xlimcl 46357

Description: The limit of a sequence of extended real numbers is an extended real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xlimcl	⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xlimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 23253	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2		df-xlim 46354	. . . 4 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
3	2	breqi 5103	. . 3 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
4	3	biimpi 218	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
5		lmcl 23345	. 2 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1, 4, 5	sylancr 596	1 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211  ordTopcordt 17520  TopOnctopon 22958  ⇝_𝑡clm 23274  ~~>*clsxlim 46353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9351  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-topgen 17463  df-ordt 17522  df-ps 18589  df-tsr 18590  df-top 22942  df-topon 22959  df-bases 22994  df-lm 23277  df-xlim 46354

This theorem is referenced by:  dfxlim2v  46382  xlimliminflimsup  46397