Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimcl 45777
Description: The limit of a sequence of extended real numbers is an extended real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
xlimcl (𝐹~~>*𝐴𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xlimcl
StepHypRef Expression
1 letopon 23228 . 2 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2 df-xlim 45774 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
32breqi 5153 . . 3 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
43biimpi 216 . 2 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
5 lmcl 23320 . 2 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
61, 4, 5sylancr 587 1 (𝐹~~>*𝐴𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  *cxr 11291  cle 11293  ordTopcordt 17545  TopOnctopon 22931  𝑡clm 23249  ~~>*clsxlim 45773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-lm 23252  df-xlim 45774
This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45802  xlimliminflimsup  45817
  Copyright terms: Public domain W3C validator