Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimcl 45837
Description: The limit of a sequence of extended real numbers is an extended real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
xlimcl (𝐹~~>*𝐴𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xlimcl
StepHypRef Expression
1 letopon 23213 . 2 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2 df-xlim 45834 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
32breqi 5149 . . 3 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
43biimpi 216 . 2 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
5 lmcl 23305 . 2 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
61, 4, 5sylancr 587 1 (𝐹~~>*𝐴𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  *cxr 11294  cle 11296  ordTopcordt 17544  TopOnctopon 22916  𝑡clm 23234  ~~>*clsxlim 45833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xlim 45834
This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45862  xlimliminflimsup  45877
  Copyright terms: Public domain W3C validator