Theorem xlimcl 43038

Description: The limit of a sequence of extended real numbers is an extended real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xlimcl	⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xlimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 22102	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2		df-xlim 43035	. . . 4 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
3	2	breqi 5059	. . 3 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
4	3	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
5		lmcl 22194	. 2 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1, 4, 5	sylancr 590	1 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  ℝ^*cxr 10866   ≤ cle 10868  ordTopcordt 17004  TopOnctopon 21807  ⇝_𝑡clm 22123  ~~>*clsxlim 43034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-om 7645  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-topgen 16948  df-ordt 17006  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-lm 22126  df-xlim 43035

This theorem is referenced by:  dfxlim2v  43063  xlimliminflimsup  43078