Theorem xlimres 46427

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimres.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimres	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Proof of Theorem xlimres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 23331	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
3		xlimres.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
4		xlimres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmres 23426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
6		df-xlim 46425	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7	6	breqi 5119	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
8	6	breqi 5119	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
9	5, 7, 8	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_pm cpm 8825  ℂcc 11098  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ordTopcordt 17553  TopOnctopon 23036  ⇝_𝑡clm 23352  ~~>*clsxlim 46424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9371  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863  df-topgen 17496  df-ordt 17555  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-lm 23355  df-xlim 46425

This theorem is referenced by:  xlimconst2  46441  xlimclim2lem  46445  climxlim2  46452  xlimresdm  46465  xlimliminflimsup  46468