Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimres 45090
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimres.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
xlimres.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
xlimres (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))~~>*𝐴))

Proof of Theorem xlimres
StepHypRef Expression
1 letopon 23060 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
3 xlimres.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
4 xlimres.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
52, 3, 4lmres 23155 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴))
6 df-xlim 45088 . . 3 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
76breqi 5147 . 2 (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
86breqi 5147 . 2 ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
95, 7, 83bitr4g 314 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))~~>*𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ordTopcordt 17452  TopOnctopon 22763  β‡π‘‘clm 23081  ~~>*clsxlim 45087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11448  df-z 12560  df-uz 12824  df-topgen 17396  df-ordt 17454  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-lm 23084  df-xlim 45088
This theorem is referenced by:  xlimconst2  45104  xlimclim2lem  45108  climxlim2  45115  xlimresdm  45128  xlimliminflimsup  45131
  Copyright terms: Public domain W3C validator