Theorem xlimres 45777

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimres.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimres	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Proof of Theorem xlimres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 23229	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
3		xlimres.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
4		xlimres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmres 23324	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
6		df-xlim 45775	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7	6	breqi 5154	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
8	6	breqi 5154	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
9	5, 7, 8	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8866  ℂcc 11151  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ordTopcordt 17546  TopOnctopon 22932  ⇝_𝑡clm 23250  ~~>*clsxlim 45774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-lm 23253  df-xlim 45775

This theorem is referenced by:  xlimconst2  45791  xlimclim2lem  45795  climxlim2  45802  xlimresdm  45815  xlimliminflimsup  45818