Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimres 45211
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimres.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
xlimres.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
xlimres (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))~~>*𝐴))

Proof of Theorem xlimres
StepHypRef Expression
1 letopon 23127 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
3 xlimres.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
4 xlimres.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
52, 3, 4lmres 23222 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴))
6 df-xlim 45209 . . 3 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
76breqi 5156 . 2 (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
86breqi 5156 . 2 ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
95, 7, 83bitr4g 313 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))~~>*𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150   β†Ύ cres 5682  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ↑pm cpm 8850  β„‚cc 11142  β„*cxr 11283   ≀ cle 11285  β„€cz 12594  β„€β‰₯cuz 12858  ordTopcordt 17486  TopOnctopon 22830  β‡π‘‘clm 23148  ~~>*clsxlim 45208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-1o 8491  df-er 8729  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9440  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-neg 11483  df-z 12595  df-uz 12859  df-topgen 17430  df-ordt 17488  df-ps 18563  df-tsr 18564  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-lm 23151  df-xlim 45209
This theorem is referenced by:  xlimconst2  45225  xlimclim2lem  45229  climxlim2  45236  xlimresdm  45249  xlimliminflimsup  45252
  Copyright terms: Public domain W3C validator