Theorem xlimres 46249

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimres.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimres	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Proof of Theorem xlimres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 23170	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
3		xlimres.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
4		xlimres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmres 23265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
6		df-xlim 46247	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7	6	breqi 5091	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
8	6	breqi 5091	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
9	5, 7, 8	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_pm cpm 8774  ℂcc 11036  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ordTopcordt 17463  TopOnctopon 22875  ⇝_𝑡clm 23191  ~~>*clsxlim 46246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-topgen 17406  df-ordt 17465  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-lm 23194  df-xlim 46247

This theorem is referenced by:  xlimconst2  46263  xlimclim2lem  46267  climxlim2  46274  xlimresdm  46287  xlimliminflimsup  46290