Theorem xlimres 45830

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimres.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimres	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Proof of Theorem xlimres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 23148	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
3		xlimres.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
4		xlimres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmres 23243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
6		df-xlim 45828	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7	6	breqi 5130	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
8	6	breqi 5130	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
9	5, 7, 8	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124   ↾ cres 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_pm cpm 8846  ℂcc 11132  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ordTopcordt 17518  TopOnctopon 22853  ⇝_𝑡clm 23169  ~~>*clsxlim 45827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9428  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-topgen 17462  df-ordt 17520  df-ps 18581  df-tsr 18582  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-lm 23172  df-xlim 45828

This theorem is referenced by:  xlimconst2  45844  xlimclim2lem  45848  climxlim2  45855  xlimresdm  45868  xlimliminflimsup  45871