Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfval 31440
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0 𝑘𝜑
esumpinfval.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpinfval.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfval.3 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
Assertion
Ref Expression
esumpinfval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12812 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumpinfval.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpinfval.0 . . . . 5 𝑘𝜑
4 esumpinfval.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3183 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 nfcv 2958 . . . . 5 𝑘𝐴
87esumcl 31397 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3916 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfrab1 3340 . . . . 5 𝑘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}
12 ssrab2 4010 . . . . . 6 {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴)
14 0xr 10681 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 10688 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
16 0lepnf 12519 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
17 ubicc2 12847 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
1814, 15, 16, 17mp3an 1458 . . . . . . 7 +∞ ∈ (0[,]+∞)
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
20 0e0iccpnf 12841 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2120a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ∈ (0[,]+∞))
2219, 21ifclda 4462 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ∈ (0[,]+∞))
23 eldif 3894 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
24 rabid 3334 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ↔ (𝑘𝐴𝐵 = +∞))
2524simplbi2 504 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → (𝐵 = +∞ → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
2625con3dimp 412 . . . . . . . 8 ((𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2723, 26sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2827adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ¬ 𝐵 = +∞)
2928iffalsed 4439 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = 0)
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 31439 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0))
31 eqidd 2802 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} = {𝑘𝐴𝐵 = +∞})
3224simprbi 500 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → 𝐵 = +∞)
3332iftrued 4436 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
3433adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
353, 31, 34esumeq12dvaf 31398 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞)
362, 13ssexd 5195 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V)
37 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑘+∞
3811, 37esumcst 31430 . . . . . 6 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
3936, 18, 38sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
40 hashxrcl 13718 . . . . . . 7 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
43 rabn0 4296 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
4442, 43sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅)
45 hashgt0 13749 . . . . . . 7 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅) → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
4636, 44, 45syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
47 xmulpnf1 12659 . . . . . 6 (((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4841, 46, 47syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4935, 39, 483eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
5030, 49eqtr3d 2838 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
51 breq1 5036 . . . . 5 (+∞ = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
52 breq1 5036 . . . . 5 (0 = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
53 pnfge 12517 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 +∞ ≤ +∞
55 breq2 5037 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ +∞))
5654, 55mpbiri 261 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ ≤ 𝐵)
5756adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐵)
584adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
59 iccgelb 12785 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
6014, 15, 59mp3an12 1448 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ≤ 𝐵)
6251, 52, 57, 61ifbothda 4465 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵)
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 31429 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
6450, 63eqbrtrrd 5057 . 2 (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
65 xgepnf 12550 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6665biimpd 232 . 2 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6710, 64, 66sylc 65 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669   ·e cxmu 12498  [,]cicc 12733  chash 13690  Σ*cesum 31394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-ordt 16769  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-lmod 19632  df-scaf 19633  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-tsms 22735  df-trg 22768  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196  df-ii 23485  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-esum 31395
This theorem is referenced by:  hasheuni  31452  esumcvg  31453  esumcvgre  31458  voliune  31596  volfiniune  31597
  Copyright terms: Public domain W3C validator