Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfval 33615
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
esumpinfval.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
esumpinfval.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
esumpinfval.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = +โˆž)
Assertion
Ref Expression
esumpinfval (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13425 . . 3 (0[,]+โˆž) โІ โ„*
2 esumpinfval.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
3 esumpinfval.0 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
4 esumpinfval.2 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
54ex 412 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)))
63, 5ralrimi 3249 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
7 nfcv 2898 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ด
87esumcl 33572 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
92, 6, 8syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
101, 9sselid 3976 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„*)
11 nfrab1 3446 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}
12 ssrab2 4073 . . . . . 6 {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โІ ๐ด
1312a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โІ ๐ด)
14 0xr 11277 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
15 pnfxr 11284 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
16 0lepnf 13130 . . . . . . . 8 0 โ‰ค +โˆž
17 ubicc2 13460 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค +โˆž) โ†’ +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž))
1814, 15, 16, 17mp3an 1458 . . . . . . 7 +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž)
1918a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž))
20 0e0iccpnf 13454 . . . . . . 7 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
2120a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
2219, 21ifclda 4559 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
23 eldif 3954 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
24 rabid 3447 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž))
2524simplbi2 500 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต = +โˆž โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
2625con3dimp 408 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†’ ยฌ ๐ต = +โˆž)
2723, 26sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†’ ยฌ ๐ต = +โˆž)
2827adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})) โ†’ ยฌ ๐ต = +โˆž)
2928iffalsed 4535 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = 0)
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 33614 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ดif(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0))
31 eqidd 2728 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} = {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})
3224simprbi 496 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ†’ ๐ต = +โˆž)
3332iftrued 4532 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
3433adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
353, 31, 34esumeq12dvaf 33573 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}+โˆž)
362, 13ssexd 5318 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V)
37 nfcv 2898 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜+โˆž
3811, 37esumcst 33605 . . . . . 6 (({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V โˆง +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}+โˆž = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž))
3936, 18, 38sylancl 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}+โˆž = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž))
40 hashxrcl 14334 . . . . . . 7 ({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โˆˆ โ„*)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โˆˆ โ„*)
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = +โˆž)
43 rabn0 4381 . . . . . . . 8 ({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = +โˆž)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ‰  โˆ…)
45 hashgt0 14365 . . . . . . 7 (({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V โˆง {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
4636, 44, 45syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
47 xmulpnf1 13271 . . . . . 6 (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž) = +โˆž)
4841, 46, 47syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž) = +โˆž)
4935, 39, 483eqtrd 2771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
5030, 49eqtr3d 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ดif(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
51 breq1 5145 . . . . 5 (+โˆž = if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐ต โ†” if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ๐ต))
52 breq1 5145 . . . . 5 (0 = if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ๐ต))
53 pnfge 13128 . . . . . . . 8 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ +โˆž โ‰ค +โˆž)
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 +โˆž โ‰ค +โˆž
55 breq2 5146 . . . . . . 7 (๐ต = +โˆž โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐ต โ†” +โˆž โ‰ค +โˆž))
5654, 55mpbiri 258 . . . . . 6 (๐ต = +โˆž โ†’ +โˆž โ‰ค ๐ต)
5756adantl 481 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ +โˆž โ‰ค ๐ต)
584adantr 480 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐ต = +โˆž) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
59 iccgelb 13398 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6014, 15, 59mp3an12 1448 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6158, 60syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6251, 52, 57, 61ifbothda 4562 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ๐ต)
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 33604 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ดif(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)
6450, 63eqbrtrrd 5166 . 2 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)
65 xgepnf 13162 . . 3 (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ†” ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž))
6665biimpd 228 . 2 (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž))
6710, 64, 66sylc 65 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534  โ„ฒwnf 1778   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   โˆ– cdif 3941   โІ wss 3944  โˆ…c0 4318  ifcif 4524   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  +โˆžcpnf 11261  โ„*cxr 11263   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   ยทe cxmu 13109  [,]cicc 13345  โ™ฏchash 14307  ฮฃ*cesum 33569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-ordt 17468  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-ps 18543  df-tsr 18544  df-plusf 18584  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-abv 20679  df-lmod 20727  df-scaf 20728  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-tmd 23950  df-tgp 23951  df-tsms 24005  df-trg 24038  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-nm 24465  df-ngp 24466  df-nrg 24468  df-nlm 24469  df-ii 24771  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-log 26464  df-esum 33570
This theorem is referenced by:  hasheuni  33627  esumcvg  33628  esumcvgre  33633  voliune  33771  volfiniune  33772
  Copyright terms: Public domain W3C validator