Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfval 33748
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
esumpinfval.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
esumpinfval.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
esumpinfval.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = +โˆž)
Assertion
Ref Expression
esumpinfval (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13437 . . 3 (0[,]+โˆž) โІ โ„*
2 esumpinfval.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
3 esumpinfval.0 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
4 esumpinfval.2 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
54ex 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)))
63, 5ralrimi 3245 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
7 nfcv 2892 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ด
87esumcl 33705 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
92, 6, 8syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
101, 9sselid 3970 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„*)
11 nfrab1 3439 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}
12 ssrab2 4069 . . . . . 6 {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โІ ๐ด
1312a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โІ ๐ด)
14 0xr 11289 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
15 pnfxr 11296 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
16 0lepnf 13142 . . . . . . . 8 0 โ‰ค +โˆž
17 ubicc2 13472 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค +โˆž) โ†’ +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž))
1814, 15, 16, 17mp3an 1457 . . . . . . 7 +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž)
1918a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž))
20 0e0iccpnf 13466 . . . . . . 7 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
2120a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
2219, 21ifclda 4559 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
23 eldif 3950 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
24 rabid 3440 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž))
2524simplbi2 499 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต = +โˆž โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
2625con3dimp 407 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†’ ยฌ ๐ต = +โˆž)
2723, 26sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†’ ยฌ ๐ต = +โˆž)
2827adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})) โ†’ ยฌ ๐ต = +โˆž)
2928iffalsed 4535 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = 0)
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 33747 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ดif(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0))
31 eqidd 2726 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} = {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})
3224simprbi 495 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ†’ ๐ต = +โˆž)
3332iftrued 4532 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
3433adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
353, 31, 34esumeq12dvaf 33706 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}+โˆž)
362, 13ssexd 5319 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V)
37 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜+โˆž
3811, 37esumcst 33738 . . . . . 6 (({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V โˆง +โˆž โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}+โˆž = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž))
3936, 18, 38sylancl 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}+โˆž = ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž))
40 hashxrcl 14346 . . . . . . 7 ({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โˆˆ โ„*)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โˆˆ โ„*)
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = +โˆž)
43 rabn0 4381 . . . . . . . 8 ({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = +โˆž)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ‰  โˆ…)
45 hashgt0 14377 . . . . . . 7 (({๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โˆˆ V โˆง {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž} โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
4636, 44, 45syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}))
47 xmulpnf1 13283 . . . . . 6 (((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž})) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž) = +โˆž)
4841, 46, 47syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}) ยทe +โˆž) = +โˆž)
4935, 39, 483eqtrd 2769 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐ต = +โˆž}if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
5030, 49eqtr3d 2767 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ดif(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) = +โˆž)
51 breq1 5146 . . . . 5 (+โˆž = if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐ต โ†” if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ๐ต))
52 breq1 5146 . . . . 5 (0 = if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ๐ต))
53 pnfge 13140 . . . . . . . 8 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ +โˆž โ‰ค +โˆž)
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 +โˆž โ‰ค +โˆž
55 breq2 5147 . . . . . . 7 (๐ต = +โˆž โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐ต โ†” +โˆž โ‰ค +โˆž))
5654, 55mpbiri 257 . . . . . 6 (๐ต = +โˆž โ†’ +โˆž โ‰ค ๐ต)
5756adantl 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ +โˆž โ‰ค ๐ต)
584adantr 479 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐ต = +โˆž) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
59 iccgelb 13410 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6014, 15, 59mp3an12 1447 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6158, 60syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6251, 52, 57, 61ifbothda 4562 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ๐ต)
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 33737 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ดif(๐ต = +โˆž, +โˆž, 0) โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)
6450, 63eqbrtrrd 5167 . 2 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)
65 xgepnf 13174 . . 3 (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ†” ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž))
6665biimpd 228 . 2 (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž))
6710, 64, 66sylc 65 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3937   โІ wss 3940  โˆ…c0 4318  ifcif 4524   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  +โˆžcpnf 11273  โ„*cxr 11275   < clt 11276   โ‰ค cle 11277   ยทe cxmu 13121  [,]cicc 13357  โ™ฏchash 14319  ฮฃ*cesum 33702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-ordt 17480  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-ps 18555  df-tsr 18556  df-plusf 18596  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-abv 20699  df-lmod 20747  df-scaf 20748  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tmd 23992  df-tgp 23993  df-tsms 24047  df-trg 24080  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-nm 24507  df-ngp 24508  df-nrg 24510  df-nlm 24511  df-ii 24813  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-esum 33703
This theorem is referenced by:  hasheuni  33760  esumcvg  33761  esumcvgre  33766  voliune  33904  volfiniune  33905
  Copyright terms: Public domain W3C validator