Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfval 30976
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0 𝑘𝜑
esumpinfval.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpinfval.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfval.3 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
Assertion
Ref Expression
esumpinfval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12638 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumpinfval.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpinfval.0 . . . . 5 𝑘𝜑
4 esumpinfval.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 405 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3166 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 nfcv 2932 . . . . 5 𝑘𝐴
87esumcl 30933 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3858 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfrab1 3324 . . . . 5 𝑘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}
12 ssrab2 3948 . . . . . 6 {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴)
14 0xr 10489 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 10496 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
16 0lepnf 12347 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
17 ubicc2 12672 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
1814, 15, 16, 17mp3an 1440 . . . . . . 7 +∞ ∈ (0[,]+∞)
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
20 0e0iccpnf 12666 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2120a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ∈ (0[,]+∞))
2219, 21ifclda 4385 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ∈ (0[,]+∞))
23 eldif 3841 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
24 rabid 3317 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ↔ (𝑘𝐴𝐵 = +∞))
2524simplbi2 493 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → (𝐵 = +∞ → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
2625con3dimp 400 . . . . . . . 8 ((𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2723, 26sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2827adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ¬ 𝐵 = +∞)
2928iffalsed 4362 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = 0)
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 30975 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0))
31 eqidd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} = {𝑘𝐴𝐵 = +∞})
3224simprbi 489 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → 𝐵 = +∞)
3332iftrued 4359 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
3433adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
353, 31, 34esumeq12dvaf 30934 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞)
362, 13ssexd 5085 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V)
37 nfcv 2932 . . . . . . 7 𝑘+∞
3811, 37esumcst 30966 . . . . . 6 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
3936, 18, 38sylancl 577 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
40 hashxrcl 13536 . . . . . . 7 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
43 rabn0 4227 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
4442, 43sylibr 226 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅)
45 hashgt0 13565 . . . . . . 7 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅) → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
4636, 44, 45syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
47 xmulpnf1 12486 . . . . . 6 (((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4841, 46, 47syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4935, 39, 483eqtrd 2818 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
5030, 49eqtr3d 2816 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
51 breq1 4933 . . . . 5 (+∞ = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
52 breq1 4933 . . . . 5 (0 = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
53 pnfge 12345 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 +∞ ≤ +∞
55 breq2 4934 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ +∞))
5654, 55mpbiri 250 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ ≤ 𝐵)
5756adantl 474 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐵)
584adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
59 iccgelb 12612 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
6014, 15, 59mp3an12 1430 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ≤ 𝐵)
6251, 52, 57, 61ifbothda 4388 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵)
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 30965 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
6450, 63eqbrtrrd 4954 . 2 (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
65 xgepnf 12378 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6665biimpd 221 . 2 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6710, 64, 66sylc 65 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  wrex 3089  {crab 3092  Vcvv 3415  cdif 3828  wss 3831  c0 4180  ifcif 4351   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  0cc0 10337  +∞cpnf 10473  *cxr 10475   < clt 10476  cle 10477   ·e cxmu 12326  [,]cicc 12560  chash 13508  Σ*cesum 30930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ioc 12562  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-fac 13452  df-bc 13481  df-hash 13509  df-shft 14290  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-limsup 14692  df-clim 14709  df-rlim 14710  df-sum 14907  df-ef 15284  df-sin 15286  df-cos 15287  df-pi 15289  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-ordt 16633  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-ps 17671  df-tsr 17672  df-plusf 17712  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-subrg 19259  df-abv 19313  df-lmod 19361  df-scaf 19362  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-cnfld 20251  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cld 21334  df-ntr 21335  df-cls 21336  df-nei 21413  df-lp 21451  df-perf 21452  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-haus 21630  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-fil 22161  df-fm 22253  df-flim 22254  df-flf 22255  df-tmd 22387  df-tgp 22388  df-tsms 22441  df-trg 22474  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-nm 22898  df-ngp 22899  df-nrg 22901  df-nlm 22902  df-ii 23191  df-cncf 23192  df-limc 24170  df-dv 24171  df-log 24844  df-esum 30931
This theorem is referenced by:  hasheuni  30988  esumcvg  30989  esumcvgre  30994  voliune  31133  volfiniune  31134
  Copyright terms: Public domain W3C validator