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Theorem 4sqlem18 12602
Description: Lemma for 4sq 12604. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 |- ( ph -> P e. S )
Distinct variable groups:   i, M, n   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables a b c d j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
2 prmnn 12303 . . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
31, 2syl 14 . . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
43nncnd 9021 . . 3 |- ( ph -> P e. CC )
54mullidd 8061 . 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 |- M = inf ( T , RR , < )
7 4sqlem11.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN )
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
10 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
11 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
127, 8, 9, 1, 10, 11, 64sqlem13m 12597 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. j j e. T /\ M < P ) )
1312simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. j j e. T )
14 1zzd 9370 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> 1 e. ZZ )
15 nnuz 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1615rabeqi 2756 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
1711, 16eqtri 2217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
18 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> j e. T )
19 elfznn 10146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 1 ... j ) -> i e. NN )
2019adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> i e. NN )
213ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> P e. NN )
2220, 21nnmulcld 9056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
2322nnnn0d 9319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
2474sqlemsdc 12594 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i x. P ) e. NN0 -> DECID ( i x. P ) e. S )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
2614, 17, 18, 25infssuzcldc 10342 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
2713, 26exlimddv 1913 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
286, 27eqeltrid 2283 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. T )
29 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( i x. P ) = ( M x. P ) )
3029eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( M x. P ) e. S ) )
3130, 11elrab2 2923 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. T <-> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
3228, 31sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
3332simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) e. S )
3474sqlem2 12583 . . . . . . . . 9 |- ( ( M x. P ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3533, 34sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ph -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3635adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
37 simp1l 1023 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ph )
3837, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> N e. NN )
3937, 9syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4037, 1syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
4137, 10syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
42 simp1r 1024 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
43 simp2ll 1066 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> a e. ZZ )
44 simp2lr 1067 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> b e. ZZ )
45 simp2rl 1068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> c e. ZZ )
46 simp2rr 1069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> d e. ZZ )
47 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
48 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
49 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
50 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
51 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M ) = ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M )
52 simp3 1001 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
537, 38, 39, 40, 41, 11, 6, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 524sqlem17 12601 . . . . . . . . . . . 12 |- -. ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
5453pm2.21i 647 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
55543expia 1207 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5655anassrs 400 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5756rexlimdvva 2622 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5857rexlimdvva 2622 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5936, 58mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6059pm2.01da 637 . . . . 5 |- ( ph -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6132simpld 112 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
62 elnn1uz2 9698 . . . . . 6 |- ( M e. NN <-> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6361, 62sylib 122 . . . . 5 |- ( ph -> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6460, 63ecased 1360 . . . 4 |- ( ph -> M = 1 )
6564, 28eqeltrrd 2274 . . 3 |- ( ph -> 1 e. T )
66 oveq1 5932 . . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( i x. P ) = ( 1 x. P ) )
6766eleq1d 2265 . . . . 5 |- ( i = 1 -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( 1 x. P ) e. S ) )
6867, 11elrab2 2923 . . . 4 |- ( 1 e. T <-> ( 1 e. NN /\ ( 1 x. P ) e. S ) )
6968simprbi 275 . . 3 |- ( 1 e. T -> ( 1 x. P ) e. S )
7065, 69syl 14 . 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) e. S )
715, 70eqeltrrd 2274 1 |- ( ph -> P e. S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  infcinf 7058   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   - cmin 8214   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   mod cmo 10431   ^cexp 10647   Primecprime 12300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-gz 12564
This theorem is referenced by:  4sqlem19  12603
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