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Theorem 4sqlem18 12764
Description: Lemma for 4sq 12766. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 |- ( ph -> P e. S )
Distinct variable groups:   i, M, n   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables a b c d j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
2 prmnn 12465 . . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
31, 2syl 14 . . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
43nncnd 9052 . . 3 |- ( ph -> P e. CC )
54mullidd 8092 . 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 |- M = inf ( T , RR , < )
7 4sqlem11.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN )
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
10 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
11 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
127, 8, 9, 1, 10, 11, 64sqlem13m 12759 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. j j e. T /\ M < P ) )
1312simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. j j e. T )
14 1zzd 9401 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> 1 e. ZZ )
15 nnuz 9686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1615rabeqi 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
1711, 16eqtri 2226 . . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
18 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> j e. T )
19 elfznn 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 1 ... j ) -> i e. NN )
2019adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> i e. NN )
213ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> P e. NN )
2220, 21nnmulcld 9087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
2322nnnn0d 9350 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
2474sqlemsdc 12756 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i x. P ) e. NN0 -> DECID ( i x. P ) e. S )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
2614, 17, 18, 25infssuzcldc 10380 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
2713, 26exlimddv 1922 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
286, 27eqeltrid 2292 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. T )
29 oveq1 5953 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( i x. P ) = ( M x. P ) )
3029eleq1d 2274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( M x. P ) e. S ) )
3130, 11elrab2 2932 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. T <-> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
3228, 31sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
3332simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) e. S )
3474sqlem2 12745 . . . . . . . . 9 |- ( ( M x. P ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3533, 34sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ph -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3635adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
37 simp1l 1024 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ph )
3837, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> N e. NN )
3937, 9syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4037, 1syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
4137, 10syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
42 simp1r 1025 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
43 simp2ll 1067 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> a e. ZZ )
44 simp2lr 1068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> b e. ZZ )
45 simp2rl 1069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> c e. ZZ )
46 simp2rr 1070 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> d e. ZZ )
47 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
48 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
49 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
50 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
51 eqid 2205 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M ) = ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M )
52 simp3 1002 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
537, 38, 39, 40, 41, 11, 6, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 524sqlem17 12763 . . . . . . . . . . . 12 |- -. ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
5453pm2.21i 647 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
55543expia 1208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5655anassrs 400 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5756rexlimdvva 2631 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5857rexlimdvva 2631 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5936, 58mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6059pm2.01da 637 . . . . 5 |- ( ph -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6132simpld 112 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
62 elnn1uz2 9730 . . . . . 6 |- ( M e. NN <-> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6361, 62sylib 122 . . . . 5 |- ( ph -> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6460, 63ecased 1362 . . . 4 |- ( ph -> M = 1 )
6564, 28eqeltrrd 2283 . . 3 |- ( ph -> 1 e. T )
66 oveq1 5953 . . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( i x. P ) = ( 1 x. P ) )
6766eleq1d 2274 . . . . 5 |- ( i = 1 -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( 1 x. P ) e. S ) )
6867, 11elrab2 2932 . . . 4 |- ( 1 e. T <-> ( 1 e. NN /\ ( 1 x. P ) e. S ) )
6968simprbi 275 . . 3 |- ( 1 e. T -> ( 1 x. P ) e. S )
7065, 69syl 14 . 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) e. S )
715, 70eqeltrrd 2283 1 |- ( ph -> P e. S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   {cab 2191   E.wrex 2485   {crab 2488   C_ wss 3166   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946  infcinf 7087   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   - cmin 8245   / cdiv 8747   NNcn 9038   2c2 9089   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132   mod cmo 10469   ^cexp 10685   Primecprime 12462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-dvds 12132  df-gcd 12308  df-prm 12463  df-gz 12726
This theorem is referenced by:  4sqlem19  12765
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