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Theorem 4sqlem18 13106
Description: Lemma for 4sq 13108. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem11.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 |- ( ph -> P e. S )
Distinct variable groups:   i, M, n   n, N   P, i, n, w, x, y, z   S, i, n   T, i   ph, i, n
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, n)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables a b c d j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
2 prmnn 12807 . . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
31, 2syl 14 . . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
43nncnd 9251 . . 3 |- ( ph -> P e. CC )
54mullidd 8292 . 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 |- M = inf ( T , RR , < )
7 4sqlem11.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
8 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN )
9 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
10 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
11 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
127, 8, 9, 1, 10, 11, 64sqlem13m 13101 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. j j e. T /\ M < P ) )
1312simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. j j e. T )
14 1zzd 9604 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> 1 e. ZZ )
15 nnuz 9890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
1615rabeqi 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
1711, 16eqtri 2253 . . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { i e. ( ZZ>= ` 1 ) | ( i x. P ) e. S }
18 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> j e. T )
19 elfznn 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 1 ... j ) -> i e. NN )
2019adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> i e. NN )
213ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> P e. NN )
2220, 21nnmulcld 9286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN )
2322nnnn0d 9553 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> ( i x. P ) e. NN0 )
2474sqlemsdc 13098 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i x. P ) e. NN0 -> DECID ( i x. P ) e. S )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. T ) /\ i e. ( 1 ... j ) ) -> DECID ( i x. P ) e. S )
2614, 17, 18, 25infssuzcldc 10595 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
2713, 26exlimddv 1948 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
286, 27eqeltrid 2319 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. T )
29 oveq1 6057 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( i x. P ) = ( M x. P ) )
3029eleq1d 2301 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( M x. P ) e. S ) )
3130, 11elrab2 2976 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. T <-> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
3228, 31sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
3332simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) e. S )
3474sqlem2 13087 . . . . . . . . 9 |- ( ( M x. P ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3533, 34sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ph -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3635adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
37 simp1l 1048 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ph )
3837, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> N e. NN )
3937, 9syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4037, 1syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
4137, 10syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
42 simp1r 1049 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
43 simp2ll 1091 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> a e. ZZ )
44 simp2lr 1092 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> b e. ZZ )
45 simp2rl 1093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> c e. ZZ )
46 simp2rr 1094 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> d e. ZZ )
47 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
48 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
49 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
50 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
51 eqid 2232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M ) = ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M )
52 simp3 1026 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
537, 38, 39, 40, 41, 11, 6, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 524sqlem17 13105 . . . . . . . . . . . 12 |- -. ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
5453pm2.21i 651 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
55543expia 1232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5655anassrs 400 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5756rexlimdvva 2668 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5857rexlimdvva 2668 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
5936, 58mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6059pm2.01da 641 . . . . 5 |- ( ph -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6132simpld 112 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
62 elnn1uz2 9939 . . . . . 6 |- ( M e. NN <-> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6361, 62sylib 122 . . . . 5 |- ( ph -> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6460, 63ecased 1386 . . . 4 |- ( ph -> M = 1 )
6564, 28eqeltrrd 2310 . . 3 |- ( ph -> 1 e. T )
66 oveq1 6057 . . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( i x. P ) = ( 1 x. P ) )
6766eleq1d 2301 . . . . 5 |- ( i = 1 -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( 1 x. P ) e. S ) )
6867, 11elrab2 2976 . . . 4 |- ( 1 e. T <-> ( 1 e. NN /\ ( 1 x. P ) e. S ) )
6968simprbi 275 . . 3 |- ( 1 e. T -> ( 1 x. P ) e. S )
7065, 69syl 14 . 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) e. S )
715, 70eqeltrrd 2310 1 |- ( ph -> P e. S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050  infcinf 7274   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   < clt 8308   - cmin 8444   / cdiv 8946   NNcn 9237   2c2 9288   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342   mod cmo 10684   ^cexp 10900   Primecprime 12804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-gz 13068
This theorem is referenced by:  4sqlem19  13107
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