Theorem tanval2ap 11153

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanval2ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Proof of Theorem tanval2ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tanvalap 11148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2		2cn 8591	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		ax-icn 7537	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	2, 3	mulcomi 7591	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) = (i · 2)
5	4	oveq2i 5701	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2))
6		sinval 11142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
7	6	adantr 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
8		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		mulcl 7566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 8, 9	sylancr 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 11103	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13		negicn 7780	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
14		mulcl 7566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 8, 14	sylancr 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
16		efcl 11103	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	12, 17	subcld 7890	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
19	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → i ∈ ℂ)
20	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 2 ∈ ℂ)
21		iap0 8737	. . . . . . 7 ⊢ i # 0
22	21	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → i # 0)
23		2ap0 8613	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 2 # 0)
25	18, 19, 20, 22, 24	divdivap1d 8386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2)))
26	5, 7, 25	3eqtr4a 2153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2))
27		cosval 11143	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
28	27	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
29	26, 28	oveq12d 5708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
30	1, 29	eqtrd 2127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
31	18, 19, 22	divclapd 8354	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) ∈ ℂ)
32	12, 17	addcld 7604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
33		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
34	28, 33	eqbrtrrd 3889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0)
35	32, 20, 24	divap0bd 8366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0))
36	34, 35	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0)
37	31, 32, 20, 36, 24	divcanap7d 8383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
38	18, 19, 32, 22, 36	divdivap1d 8386	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
39	30, 37, 38	3eqtrd 2131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  0cc0 7447  ici 7449   + caddc 7450   · cmul 7452   − cmin 7750  -cneg 7751   # cap 8155   / cdiv 8236  2c2 8571  expce 11081  sincsin 11083  cosccos 11084  tanctan 11085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-seqfrec 10001  df-exp 10070  df-fac 10249  df-ihash 10299  df-cj 10391  df-re 10392  df-im 10393  df-rsqrt 10546  df-abs 10547  df-clim 10822  df-sumdc 10897  df-ef 11087  df-sin 11089  df-cos 11090  df-tan 11091

This theorem is referenced by:  tanval3ap  11154