ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tanval2ap GIF version

Theorem tanval2ap 11748
Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
tanval2ap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Proof of Theorem tanval2ap
StepHypRef Expression
1 tanvalap 11743 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2 2cn 9015 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
3 ax-icn 7931 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
42, 3mulcomi 7988 . . . . . 6 (2 · i) = (i · 2)
54oveq2i 5903 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2))
6 sinval 11737 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
76adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
8 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 mulcl 7963 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
103, 8, 9sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11 efcl 11699 . . . . . . . 8 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13 negicn 8183 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
14 mulcl 7963 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
1513, 8, 14sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
16 efcl 11699 . . . . . . . 8 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1812, 17subcld 8293 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
193a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → i ∈ ℂ)
202a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 2 ∈ ℂ)
21 iap0 9167 . . . . . . 7 i # 0
2221a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → i # 0)
23 2ap0 9037 . . . . . . 7 2 # 0
2423a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 2 # 0)
2518, 19, 20, 22, 24divdivap1d 8804 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2)))
265, 7, 253eqtr4a 2248 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2))
27 cosval 11738 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
2827adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
2926, 28oveq12d 5910 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
301, 29eqtrd 2222 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
3118, 19, 22divclapd 8772 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) ∈ ℂ)
3212, 17addcld 8002 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
33 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
3428, 33eqbrtrrd 4042 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0)
3532, 20, 24divap0bd 8784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0))
3634, 35mpbird 167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0)
3731, 32, 20, 36, 24divcanap7d 8801 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
3818, 19, 32, 22, 36divdivap1d 8804 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
3930, 37, 383eqtrd 2226 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5232  (class class class)co 5892  cc 7834  0cc0 7836  ici 7838   + caddc 7839   · cmul 7841  cmin 8153  -cneg 8154   # cap 8563   / cdiv 8654  2c2 8995  expce 11677  sincsin 11679  cosccos 11680  tanctan 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6762  df-dom 6763  df-fin 6764  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-ico 9919  df-fz 10034  df-fzo 10168  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-fac 10733  df-ihash 10783  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-clim 11314  df-sumdc 11389  df-ef 11683  df-sin 11685  df-cos 11686  df-tan 11687
This theorem is referenced by:  tanval3ap  11749
  Copyright terms: Public domain W3C validator