Theorem tanval2ap 12458

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanval2ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Proof of Theorem tanval2ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tanvalap 12453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2		2cn 9354	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		ax-icn 8264	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	2, 3	mulcomi 8322	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) = (i · 2)
5	4	oveq2i 6086	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2))
6		sinval 12447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		mulcl 8296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	3, 8, 9	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 12409	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13		negicn 8517	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
14		mulcl 8296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 8, 14	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
16		efcl 12409	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	12, 17	subcld 8627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
19	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → i ∈ ℂ)
20	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 2 ∈ ℂ)
21		iap0 9507	. . . . . . 7 ⊢ i # 0
22	21	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → i # 0)
23		2ap0 9376	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 2 # 0)
25	18, 19, 20, 22, 24	divdivap1d 9142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · 2)))
26	5, 7, 25	3eqtr4a 2297	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2))
27		cosval 12448	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
28	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
29	26, 28	oveq12d 6093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
30	1, 29	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
31	18, 19, 22	divclapd 9110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) ∈ ℂ)
32	12, 17	addcld 8335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
33		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
34	28, 33	eqbrtrrd 4149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0)
35	32, 20, 24	divap0bd 9122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0))
36	34, 35	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0)
37	31, 32, 20, 36, 24	divcanap7d 9139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / 2) / (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
38	18, 19, 32, 22, 36	divdivap1d 9142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / i) / ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
39	30, 37, 38	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  ici 8171   + caddc 8172   · cmul 8174   − cmin 8487  -cneg 8488   # cap 8899   / cdiv 8992  2c2 9334  expce 12387  sincsin 12389  cosccos 12390  tanctan 12391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-tan 12397

This theorem is referenced by:  tanval3ap  12459