Theorem mulgrhm 14538

Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14525	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring1 14530	. 2 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
3		mulgrhm.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		zringmulr 14528	. 2 ⊢ · = (.r‘ℤring)
5		eqid 2209	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		zringring 14522	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
8		id 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9		mulgghm2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
10		oveq1 5981	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 1 ) = (1 · 1 ))
11		1zzd 9441	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
12		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 3	ringidcl 13949	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14		mulgghm2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
15	12, 14	mulg1 13632	. . . . . 6 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1 · 1 ) = 1 )
16	13, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) = 1 )
17	16, 13	eqeltrd 2286	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
18	9, 10, 11, 17	fvmptd3 5701	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = (1 · 1 ))
19	18, 16	eqtrd 2242	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = 1 )
20		ringgrp 13930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
21	20	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
22		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
24	12, 14, 21, 22, 23	mulgcld 13647	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
25	12, 5, 3	ringlidm 13952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
26	24, 25	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
27	26	oveq2d 5990	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
28		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
29		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	12, 14, 5	mulgass2 13987	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
31	28, 29, 23, 24, 30	syl13anc 1254	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
32	12, 14	mulgass 13662	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
33	21, 29, 22, 23, 32	syl13anc 1254	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
34	27, 31, 33	3eqtr4rd 2253	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
35		oveq1 5981	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
36		zmulcl 9468	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38	12, 14, 21, 37, 23	mulgcld 13647	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
39	9, 35, 37, 38	fvmptd3 5701	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
40		oveq1 5981	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
41	12, 14, 21, 29, 23	mulgcld 13647	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
42	9, 40, 29, 41	fvmptd3 5701	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
43		oveq1 5981	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
44	9, 43, 22, 24	fvmptd3 5701	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
45	42, 44	oveq12d 5992	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
46	34, 39, 45	3eqtr4d 2252	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
47	14, 9, 12	mulgghm2 14537	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
48	20, 13, 47	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
49	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 19, 46, 48	isrhm2d 14094	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ↦ cmpt 4124  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  1c1 7968   · cmul 7972  ℤcz 9414  Basecbs 12998  ._rcmulr 13077  Grpcgrp 13499  ._gcmg 13622   GrpHom cghm 13743  1_rcur 13888  Ringcrg 13925   RingHom crh 14079  ℤ_ringczring 14519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-addf 8089  ax-mulf 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-cj 11319  df-abs 11476  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-starv 13091  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-unif 13099  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-mulg 13623  df-subg 13673  df-ghm 13744  df-cmn 13789  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927  df-cring 13928  df-rhm 14081  df-subrg 14148  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-fg 14478  df-metu 14479  df-cnfld 14486  df-zring 14520

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  14539