Theorem mulgrhm 14241

Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14228	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring1 14233	. 2 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
3		mulgrhm.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		zringmulr 14231	. 2 ⊢ · = (.r‘ℤring)
5		eqid 2196	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		zringring 14225	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
8		id 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9		mulgghm2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
10		oveq1 5932	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 1 ) = (1 · 1 ))
11		1zzd 9370	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
12		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 3	ringidcl 13652	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14		mulgghm2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
15	12, 14	mulg1 13335	. . . . . 6 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1 · 1 ) = 1 )
16	13, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) = 1 )
17	16, 13	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
18	9, 10, 11, 17	fvmptd3 5658	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = (1 · 1 ))
19	18, 16	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = 1 )
20		ringgrp 13633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
21	20	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
22		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
24	12, 14, 21, 22, 23	mulgcld 13350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
25	12, 5, 3	ringlidm 13655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
26	24, 25	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
27	26	oveq2d 5941	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
28		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
29		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	12, 14, 5	mulgass2 13690	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
31	28, 29, 23, 24, 30	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
32	12, 14	mulgass 13365	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
33	21, 29, 22, 23, 32	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
34	27, 31, 33	3eqtr4rd 2240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
35		oveq1 5932	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
36		zmulcl 9396	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38	12, 14, 21, 37, 23	mulgcld 13350	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
39	9, 35, 37, 38	fvmptd3 5658	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
40		oveq1 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
41	12, 14, 21, 29, 23	mulgcld 13350	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
42	9, 40, 29, 41	fvmptd3 5658	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
43		oveq1 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
44	9, 43, 22, 24	fvmptd3 5658	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
45	42, 44	oveq12d 5943	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
46	34, 39, 45	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
47	14, 9, 12	mulgghm2 14240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
48	20, 13, 47	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
49	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 19, 46, 48	isrhm2d 13797	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1c1 7897   · cmul 7901  ℤcz 9343  Basecbs 12703  ._rcmulr 12781  Grpcgrp 13202  ._gcmg 13325   GrpHom cghm 13446  1_rcur 13591  Ringcrg 13628   RingHom crh 13782  ℤ_ringczring 14222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-cj 11024  df-abs 11181  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-cring 13631  df-rhm 13784  df-subrg 13851  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  14242