Theorem mulgrhm 14744

Description: The powers of the element 1 give a ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14731	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring1 14736	. 2 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
3		mulgrhm.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		zringmulr 14734	. 2 ⊢ · = (.r‘ℤring)
5		eqid 2232	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		zringring 14728	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ℤring ∈ Ring)
8		id 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9		mulgghm2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
10		oveq1 6056	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 1 ) = (1 · 1 ))
11		1zzd 9600	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
12		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 3	ringidcl 14153	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14		mulgghm2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
15	12, 14	mulg1 13835	. . . . . 6 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1 · 1 ) = 1 )
16	13, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) = 1 )
17	16, 13	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
18	9, 10, 11, 17	fvmptd3 5770	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = (1 · 1 ))
19	18, 16	eqtrd 2265	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘1) = 1 )
20		ringgrp 14134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
21	20	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
22		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
24	12, 14, 21, 22, 23	mulgcld 13850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
25	12, 5, 3	ringlidm 14156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
26	24, 25	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑦 · 1 ))
27	26	oveq2d 6065	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
28		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
29		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	12, 14, 5	mulgass2 14191	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
31	28, 29, 23, 24, 30	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )) = (𝑥 · ( 1 (.r‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))
32	12, 14	mulgass 13865	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
33	21, 29, 22, 23, 32	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = (𝑥 · (𝑦 · 1 )))
34	27, 31, 33	3eqtr4rd 2276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
35		oveq1 6056	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
36		zmulcl 9627	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38	12, 14, 21, 37, 23	mulgcld 13850	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
39	9, 35, 37, 38	fvmptd3 5770	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) · 1 ))
40		oveq1 6056	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
41	12, 14, 21, 29, 23	mulgcld 13850	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
42	9, 40, 29, 41	fvmptd3 5770	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
43		oveq1 6056	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
44	9, 43, 22, 24	fvmptd3 5770	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
45	42, 44	oveq12d 6067	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(.r‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
46	34, 39, 45	3eqtr4d 2275	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
47	14, 9, 12	mulgghm2 14743	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
48	20, 13, 47	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
49	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 19, 46, 48	isrhm2d 14299	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ↦ cmpt 4170  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  1c1 8124   · cmul 8128  ℤcz 9573  Basecbs 13201  ._rcmulr 13280  Grpcgrp 13702  ._gcmg 13825   GrpHom cghm 13946  1_rcur 14092  Ringcrg 14129   RingHom crh 14284  ℤ_ringczring 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-cj 11520  df-abs 11677  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-mulg 13826  df-subg 13876  df-ghm 13947  df-cmn 13992  df-mgp 14054  df-ur 14093  df-ring 14131  df-cring 14132  df-rhm 14286  df-subrg 14353  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692  df-zring 14726

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  14745