Theorem mulasssrg 7454

Description: Multiplication of signed reals is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulasssrg	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))

Proof of Theorem mulasssrg

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7423	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 7442	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3		mulsrpr 7442	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R )
4		mulsrpr 7442	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)), ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣))⟩] ~R )
5		mulsrpr 7442	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))), ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))⟩] ~R )
6		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
7	6	ad2ant2r 496	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
8		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
9	8	ad2ant2l 495	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
10		addclpr 7246	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
11	7, 9, 10	syl2anc 406	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
12		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
13	12	ad2ant2rl 498	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
14		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
15	14	ad2ant2lr 497	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
16		addclpr 7246	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
17	13, 15, 16	syl2anc 406	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
18	11, 17	jca 302	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
19		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
20	19	ad2ant2r 496	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
21		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
22	21	ad2ant2l 495	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
23		addclpr 7246	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
24	20, 22, 23	syl2anc 406	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
25		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
26	25	ad2ant2rl 498	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
27		mulclpr 7281	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
28	27	ad2ant2lr 497	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
29		addclpr 7246	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·P 𝑢) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
30	26, 28, 29	syl2anc 406	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
31	24, 30	jca 302	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P))
32		mulcomprg 7289	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
33	32	adantl 273	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
34		distrprg 7297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P) → (𝑟 ·P (𝑠 +P 𝑡)) = ((𝑟 ·P 𝑠) +P (𝑟 ·P 𝑡)))
35	34	adantl 273	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P)) → (𝑟 ·P (𝑠 +P 𝑡)) = ((𝑟 ·P 𝑠) +P (𝑟 ·P 𝑡)))
36		simp1 949	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → 𝑓 ∈ P)
37		simp2 950	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → 𝑔 ∈ P)
38		simp3 951	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ℎ ∈ P)
39		addclpr 7246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P) → (𝑟 +P 𝑠) ∈ P)
40	39	adantl 273	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P)) → (𝑟 +P 𝑠) ∈ P)
41		mulcomprg 7289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P) → (𝑟 ·P 𝑠) = (𝑠 ·P 𝑟))
42	41	adantl 273	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P)) → (𝑟 ·P 𝑠) = (𝑠 ·P 𝑟))
43	35, 36, 37, 38, 40, 42	caovdir2d 5879	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 +P 𝑔) ·P ℎ) = ((𝑓 ·P ℎ) +P (𝑔 ·P ℎ)))
44	43	adantl 273	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 +P 𝑔) ·P ℎ) = ((𝑓 ·P ℎ) +P (𝑔 ·P ℎ)))
45		mulassprg 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ℎ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P ℎ)))
46	45	adantl 273	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ℎ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P ℎ)))
47		mulclpr 7281	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) ∈ P)
48	47	adantl 273	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 ·P 𝑔) ∈ P)
49		simp1l 973	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → 𝑥 ∈ P)
50		simp1r 974	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → 𝑦 ∈ P)
51		simp2l 975	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → 𝑧 ∈ P)
52		simp2r 976	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → 𝑤 ∈ P)
53		simp3l 977	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → 𝑣 ∈ P)
54		simp3r 978	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → 𝑢 ∈ P)
55		addcomprg 7287	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
56	55	adantl 273	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
57		addassprg 7288	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
58	57	adantl 273	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
59		addclpr 7246	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
60	59	adantl 273	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
61	33, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 60	caovlem2d 5895	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))))
62	33, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 53, 56, 58, 60	caovlem2d 5895	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)))))
63	1, 2, 3, 4, 5, 18, 31, 61, 62	ecoviass 6469	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  (class class class)co 5706  Pcnp 7000   +_P cpp 7002   ·_P cmp 7003   ~_R cer 7005  Rcnr 7006   ·_R cmr 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-2o 6244  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061  df-ltnqqs 7062  df-enq0 7133  df-nq0 7134  df-0nq0 7135  df-plq0 7136  df-mq0 7137  df-inp 7175  df-iplp 7177  df-imp 7178  df-enr 7422  df-nr 7423  df-mr 7425

This theorem is referenced by:  axmulass  7558