Theorem mulgm1 13002

Description: Group multiple (exponentiation) operation at negative one. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgm1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem mulgm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9278	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		mulgnncl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnncl.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgneg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulgneg 13000	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘(1 · 𝑋)))
6	1, 5	mp3an2 1325	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘(1 · 𝑋)))
7	2, 3	mulg1 12989	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
9	8	fveq2d 5519	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(1 · 𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
10	6, 9	eqtrd 2210	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  1c1 7811  -cneg 8128  ℤcz 9252  Basecbs 12461  Grpcgrp 12876  inv_gcminusg 12877  ._gcmg 12982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-plusg 12548  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-grp 12879  df-minusg 12880  df-mulg 12983

This theorem is referenced by:  mulgneg2  13015