ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modaddmodlo GIF version

Theorem modaddmodlo 10418
Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the lower part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
modaddmodlo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Proof of Theorem modaddmodlo
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10176 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zq 9655 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
42, 3syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℚ)
5 zmodcl 10374 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
65adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
76nn0zd 9402 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℤ)
8 zq 9655 . . . . . 6 ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℤ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
97, 8syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
10 qaddcl 9664 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℚ)
114, 9, 10syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℚ)
12 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
13 nnq 9662 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
1412, 13syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℚ)
152zred 9404 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
166nn0red 9259 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
17 elfzole1 10184 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 0 ≤ 𝐵)
1817adantl 277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ 𝐵)
196nn0ge0d 9261 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
2015, 16, 18, 19addge0d 8508 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
21 elfzolt2 10185 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
2221adantl 277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
2312nnred 8961 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
2415, 16, 23ltaddsubd 8531 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))))
2522, 24mpbird 167 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)
26 modqid 10379 . . . 4 ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
2711, 14, 20, 25, 26syl22anc 1250 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
28 zq 9655 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
2928ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
3012nngt0d 8992 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 < 𝑀)
31 modqadd2mod 10404 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
3229, 4, 14, 30, 31syl22anc 1250 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
3327, 32eqtr3d 2224 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
3433ex 115 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895  0cc0 7840   + caddc 7843   < clt 8021  cle 8022  cmin 8157  cn 8948  0cn0 9205  cz 9282  cq 9648  ..^cfzo 10171   mod cmo 10352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-q 9649  df-rp 9683  df-fz 10038  df-fzo 10172  df-fl 10300  df-mod 10353
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator