ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modaddmodlo GIF version

Theorem modaddmodlo 10190
Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the lower part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
modaddmodlo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Proof of Theorem modaddmodlo
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9953 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 275 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zq 9443 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
42, 3syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℚ)
5 zmodcl 10146 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
65adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
76nn0zd 9193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℤ)
8 zq 9443 . . . . . 6 ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℤ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
97, 8syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
10 qaddcl 9452 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℚ)
114, 9, 10syl2anc 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℚ)
12 simplr 520 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
13 nnq 9450 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
1412, 13syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℚ)
152zred 9195 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
166nn0red 9053 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
17 elfzole1 9961 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 0 ≤ 𝐵)
1817adantl 275 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ 𝐵)
196nn0ge0d 9055 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
2015, 16, 18, 19addge0d 8306 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
21 elfzolt2 9962 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
2221adantl 275 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
2312nnred 8755 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
2415, 16, 23ltaddsubd 8329 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))))
2522, 24mpbird 166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)
26 modqid 10151 . . . 4 ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
2711, 14, 20, 25, 26syl22anc 1218 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
28 zq 9443 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
2928ad2antrr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
3012nngt0d 8786 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 < 𝑀)
31 modqadd2mod 10176 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
3229, 4, 14, 30, 31syl22anc 1218 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
3327, 32eqtr3d 2175 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
3433ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780  0cc0 7642   + caddc 7645   < clt 7822  cle 7823  cmin 7955  cn 8742  0cn0 8999  cz 9076  cq 9436  ..^cfzo 9948   mod cmo 10124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulrcl 7741  ax-addcom 7742  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-precex 7752  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758  ax-pre-mulgt0 7759  ax-pre-mulext 7760  ax-arch 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-reap 8359  df-ap 8366  df-div 8455  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-q 9437  df-rp 9469  df-fz 9820  df-fzo 9949  df-fl 10072  df-mod 10125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator