Theorem nn0le2msqd 10188

Description: The square function on nonnegative integers is monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0le2msqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0le2msqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0le2msqd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem nn0le2msqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0le2msqd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 8788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nn0le2msqd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 8788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	1	nn0ge0d 8790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	3	nn0ge0d 8790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
7	2, 4, 5, 6	le2sqd 10179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
8	1	nn0cnd 8789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	sqvald 10144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
10	3	nn0cnd 8789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	sqvald 10144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
12	9, 11	breq12d 3864	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵)))
13	7, 12	bitrd 187	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   · cmul 7416   ≤ cle 7584  2c2 8534  ℕ₀cn0 8734  ↑cexp 10015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016

This theorem is referenced by:  nn0opthlem1d  10189