Theorem psrbagconclfi 15182

Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Nov-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbagconclfi.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconclfi	⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconclfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
2		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagfi 15167	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
4	3	3ad2ant3 1051	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
5	1, 4	eleqtrrd 2318	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
6		psrbagconclfi.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
7	6	eleq2i 2305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
8	7	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
9	8	3ad2ant2 1050	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
10	4	rabeqdv 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
11	9, 10	eleqtrrd 2318	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
12		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} = {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
13	2, 12	psrbagconcl 15176	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑋) ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
14	5, 11, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑋) ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
15	14, 10	eleqtrd 2317	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
16	15, 6	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑋) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   ≤ cle 8368   − cmin 8505  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938

This theorem is used by:  mplsubrglemcl  15249