Theorem psrbagfsuppfi 15164

Description: Finite bags have finite support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsuppfi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 finSupp 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfsuppfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	psrbag 15162	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
3	2	biimpac 298	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4	3	simprd 114	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
5		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
6	1	psrbagf 15163	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
8		fcdmnn0fsuppfi 9742	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	5, 7, 8	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
10	4, 9	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 finSupp 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ⟶wf 5376  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292  0cc0 8184  ℕcn 9312  ℕ₀cn0 9573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8275  ax-resscn 8276  ax-1cn 8277  ax-1re 8278  ax-icn 8279  ax-addcl 8280  ax-addrcl 8281  ax-mulcl 8282  ax-addcom 8284  ax-addass 8286  ax-distr 8288  ax-i2m1 8289  ax-0lt1 8290  ax-0id 8292  ax-rnegex 8293  ax-cnre 8295  ax-pre-ltirr 8296  ax-pre-ltwlin 8297  ax-pre-lttrn 8298  ax-pre-ltadd 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-supp 6480  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-pnf 8367  df-mnf 8368  df-xr 8369  df-ltxr 8370  df-le 8371  df-sub 8505  df-neg 8506  df-inn 9313  df-n0 9574  df-z 9653

This theorem is used by: (None)