Theorem fcdmnn0fsuppfi 9742

Description: A function into ℕ₀ is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsuppfi	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem fcdmnn0fsuppfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 𝐼 ∈ Fin)
3	1, 2	fexd 5951	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 ∈ V)
4		0nn0 9588	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
6		fidceq 7177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → DECID 𝑥 = 𝑦)
7	6	3expb 1235	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
8	7	ralrimivva 2632	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 DECID 𝑥 = 𝑦)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 DECID 𝑥 = 𝑦)
10		nn0z 9672	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
11		nn0z 9672	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
12		zdceq 9728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 = 𝑦)
14	13	rgen2 2636	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 DECID 𝑥 = 𝑦
15	14	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 DECID 𝑥 = 𝑦)
16	3, 1, 5, 9, 15	funisfsuppdc 7298	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
17		fcdmnn0supp 9625	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
18	17	eleq1d 2307	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 supp 0) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
19	16, 18	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ⟶wf 5376  (class class class)co 6088   supp csupp 6479  Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292  0cc0 8184  ℕcn 9312  ℕ₀cn0 9573  ℤcz 9652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8275  ax-resscn 8276  ax-1cn 8277  ax-1re 8278  ax-icn 8279  ax-addcl 8280  ax-addrcl 8281  ax-mulcl 8282  ax-addcom 8284  ax-addass 8286  ax-distr 8288  ax-i2m1 8289  ax-0lt1 8290  ax-0id 8292  ax-rnegex 8293  ax-cnre 8295  ax-pre-ltirr 8296  ax-pre-ltwlin 8297  ax-pre-lttrn 8298  ax-pre-ltadd 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-supp 6480  df-1o 6692  df-er 6812  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-pnf 8367  df-mnf 8368  df-xr 8369  df-ltxr 8370  df-le 8371  df-sub 8505  df-neg 8506  df-inn 9313  df-n0 9574  df-z 9653

This theorem is used by:  psrbagfsuppfi  15164