Theorem 1z 12396

Description: One is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
1z	⊢ 1 ∈ ℤ

Proof of Theorem 1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12030	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12390	1 ⊢ 1 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  1c1 10918  ℤcz 12365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-neg 11254  df-nn 12020  df-z 12366

This theorem is referenced by:  1zzd  12397  peano2z  12407  peano2zm  12409  3halfnz  12445  peano5uzti  12456  nnuz  12667  eluz2nn  12670  eluzge3nn  12676  1eluzge0  12678  2eluzge1  12680  eluz2b1  12705  uz2m1nn  12709  nninf  12715  nnrecq  12758  qbtwnxr  12980  fz1n  13320  fz10  13323  fz01en  13330  fznatpl1  13356  fz12pr  13359  fztpval  13364  fseq1p1m1  13376  elfzp1b  13379  elfzm1b  13380  4fvwrd4  13422  ige2m2fzo  13496  fz0add1fz1  13503  fzo12sn  13516  fzo13pr  13517  fzo1to4tp  13521  fzofzp1  13530  fzostep1  13549  flge1nn  13587  fldiv4p1lem1div2  13601  modid0  13663  nnnfi  13732  fzennn  13734  fzen2  13735  f13idfv  13766  ser1const  13825  exp1  13834  zexpcl  13843  qexpcl  13844  qexpclz  13849  m1expcl  13851  expp1z  13878  expm1  13879  facnn  14035  fac0  14036  fac1  14037  bcn1  14073  bcpasc  14081  bcnm1  14087  hashsng  14129  hashfz  14187  fz1isolem  14220  seqcoll  14223  hashge2el2difr  14240  ccat2s1p2  14382  ccat2s1p2OLD  14384  s2f1o  14674  f1oun2prg  14675  swrd2lsw  14710  2swrd2eqwrdeq  14711  relexp1g  14782  climuni  15306  isercoll2  15425  iseraltlem1  15438  sum0  15478  sumsnf  15500  climcndslem1  15606  climcndslem2  15607  divcnvshft  15612  supcvg  15613  prod0  15698  prodsn  15717  prodsnf  15719  zrisefaccl  15775  zfallfaccl  15776  sin01gt0  15944  rpnnen2lem10  15977  nthruc  16006  iddvds  16024  1dvds  16025  dvdsle  16064  dvds1  16073  3dvds  16085  n2dvds1  16122  divalglem5  16151  divalg  16157  bitsfzolem  16186  gcdcllem1  16251  gcdcllem3  16253  gcdaddmlem  16276  gcdadd  16278  gcdid  16279  gcd1  16280  1gcd  16286  bezoutlem1  16292  gcdmultipleOLD  16305  lcmgcdlem  16356  lcm1  16360  3lcm2e6woprm  16365  lcmfunsnlem  16391  isprm3  16433  ge2nprmge4  16451  phicl2  16514  phi1  16519  dfphi2  16520  eulerthlem2  16528  prmdiv  16531  prmdiveq  16532  odzcllem  16538  oddprm  16556  pythagtriplem4  16565  pcpre1  16588  pc1  16601  pcrec  16604  pcmpt  16638  fldivp1  16643  expnprm  16648  pockthlem  16651  unbenlem  16654  prmreclem2  16663  prmrec  16668  igz  16680  4sqlem12  16702  4sqlem13  16703  4sqlem19  16709  vdwlem8  16734  vdwlem13  16739  prmo1  16783  fvprmselgcd1  16791  prmgaplem7  16803  prmlem0  16852  1259lem4  16880  2503lem2  16884  4001lem1  16887  setsstruct  16922  gsumpropd2lem  18408  efmnd1hash  18576  mulgfval  18747  mulg1  18756  mulgm1  18769  mulgp1  18781  mulgneg2  18782  cycsubgcl  18870  odinv  19213  efgs1b  19387  lt6abl  19541  pgpfac1lem2  19723  srgbinomlem4  19824  qsubdrg  20695  zsubrg  20696  gzsubrg  20697  zringmulg  20723  zringcyg  20736  mulgrhm  20744  mulgrhm2  20745  chrnzr  20779  frgpcyg  20826  zrhpsgnmhm  20834  zrhpsgnodpm  20842  m2detleiblem1  21818  m2detleiblem2  21822  zfbas  23092  imasdsf1olem  23571  cphipval  24452  cmetcaulem  24497  bcthlem5  24537  ehl1eudis  24629  ovolctb  24699  ovolunlem1a  24705  ovolunlem1  24706  ovoliunnul  24716  ovolicc1  24725  ovolicc2lem4  24729  voliunlem1  24759  volsup  24765  uniioombllem6  24797  vitalilem5  24821  plyeq0lem  25416  vieta1lem2  25516  elqaalem2  25525  qaa  25528  iaa  25530  abelthlem6  25640  abelthlem9  25644  sin2pim  25687  cos2pim  25688  logbleb  25978  logblt  25979  1cubrlem  26036  leibpilem2  26136  emcllem5  26194  emcllem7  26196  lgamgulm2  26230  lgamcvglem  26234  gamcvg2lem  26253  lgam1  26258  wilthlem2  26263  wilthlem3  26264  ppip1le  26355  ppi1  26358  cht1  26359  chp1  26361  cht2  26366  ppieq0  26370  ppiub  26397  chpeq0  26401  chpchtsum  26412  chpub  26413  logfacbnd3  26416  logexprlim  26418  bposlem1  26477  bposlem2  26478  bposlem5  26481  bposlem6  26482  lgslem2  26491  lgsfcl2  26496  lgsval2lem  26500  lgsdir2lem1  26518  lgsdir2lem5  26522  1lgs  26533  lgsdchr  26548  lgsquad2lem2  26578  2sqlem9  26620  2sqlem10  26621  2sqblem  26624  2sqb  26625  dchrisumlem3  26684  log2sumbnd  26737  qabvle  26818  ostth3  26831  istrkg3ld  26867  tgldimor  26908  axlowdimlem3  27357  axlowdimlem6  27360  axlowdimlem7  27361  axlowdimlem16  27370  axlowdimlem17  27371  axlowdim  27374  usgrexmpldifpr  27670  uhgrwkspthlem2  28167  pthdlem2  28181  0ewlk  28523  0pth  28534  1wlkdlem1  28546  ntrl2v2e  28567  eupth2lem3lem4  28640  ex-fl  28856  ipval2  29114  hlim0  29642  opsqrlem2  30548  iuninc  30945  nndiffz1  31152  fzom1ne1  31167  0dp2dp  31228  cshw1s2  31277  cycpmco2lem4  31441  znfermltl  31607  lmatfvlem  31810  mdetpmtr1  31818  mdetpmtr12  31820  lmlim  31942  qqh0  31979  qqh1  31980  esumfzf  32082  esumfsup  32083  esumpcvgval  32091  esumcvg  32099  esumcvgsum  32101  esumsup  32102  dya2ub  32282  rrvsum  32466  dstfrvclim1  32489  ballotlem2  32500  ballotlemfc0  32504  ballotlemfcc  32505  signsvf0  32604  hgt750leme  32683  subfac1  33185  subfacp1lem1  33186  subfacp1lem2a  33187  subfacp1lem5  33191  subfacp1lem6  33192  cvmliftlem10  33301  divcnvlin  33743  faclimlem1  33754  fwddifnp1  34512  irrdiff  35541  poimirlem3  35824  poimirlem4  35825  poimirlem16  35837  poimirlem17  35838  poimirlem19  35840  poimirlem20  35841  poimirlem24  35845  poimirlem27  35848  poimirlem28  35849  poimirlem31  35852  poimirlem32  35853  mblfinlem1  35858  mblfinlem2  35859  ovoliunnfl  35863  voliunnfl  35865  fdc  35947  heibor1lem  36011  rrncmslem  36034  lcmfunnnd  40062  lcm1un  40063  lcm2un  40064  lcmineqlem11  40089  lcmineqlem19  40097  aks4d1p1p2  40120  nn0rppwr  40370  nn0expgcd  40372  mapfzcons  40575  mzpexpmpt  40604  eldioph3b  40624  fz1eqin  40628  diophin  40631  diophun  40632  0dioph  40637  elnnrabdioph  40666  rabren3dioph  40674  irrapxlem1  40681  irrapxlem3  40683  rmxyadd  40781  rmxy1  40782  rmxy0  40783  rmxp1  40792  rmyp1  40793  rmxm1  40794  rmym1  40795  jm2.24nn  40819  acongeq  40843  jm2.23  40856  jm2.15nn0  40863  jm2.16nn0  40864  jm2.27c  40867  jm2.27dlem2  40870  rmydioph  40874  rmxdioph  40876  expdiophlem2  40882  expdioph  40883  mpaaeu  41013  trclfvdecomr  41374  k0004val0  41802  hashnzfzclim  41978  sumsnd  42607  fmuldfeq  43173  stoweidlem3  43593  stoweidlem20  43610  stoweidlem34  43624  wallispilem4  43658  wallispi2lem1  43661  wallispi2lem2  43662  stirlinglem11  43674  dirkerper  43686  dirkertrigeqlem1  43688  dirkertrigeqlem3  43690  fourierdlem47  43743  fourierswlem  43820  smfmullem4  44382  1oddALTV  45200  1nevenALTV  45201  2evenALTV  45202  nnsum3primes4  45298  nnsum3primesprm  45300  nnsum3primesgbe  45302  nnsum4primesodd  45306  nnsum4primesoddALTV  45307  nnsum4primeseven  45310  nnsum4primesevenALTV  45311  tgblthelfgott  45325  1odd  45423  altgsumbcALT  45747  zlmodzxzsubm  45753  blen2  45989  blennngt2o2  45996  nn0sumshdiglemA  46023  nn0sumshdiglemB  46024  natlocalincr  46569  tworepnotupword  46579