Theorem cjsub 15198

Description: Complex conjugate distributes over subtraction. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11536	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		cjadd 15190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
3	1, 2	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
4		negsub 11584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 6924	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = (∗‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cjneg 15196	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
8	7	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)))
9		cjcl 15154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		cjcl 15154	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
11		negsub 11584	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
12	9, 10, 11	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
13	8, 12	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
14	3, 5, 13	3eqtr3d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520  -cneg 11521  ∗ccj 15145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150

This theorem is referenced by:  sqabssub  15332  cjcn2  15646  mul4sqlem  17000  dvcjbr  26007  isosctrlem2  26880  atancj  26971  dipsubdi  30881  his2sub2  31125  cjsubd  32755  sigarmf  46775