Theorem cjsub 14841

Description: Complex conjugate distributes over subtraction. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11204	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		cjadd 14833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
3	1, 2	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
4		negsub 11252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 6772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = (∗‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cjneg 14839	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
8	7	oveq2d 7284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)))
9		cjcl 14797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		cjcl 14797	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
11		negsub 11252	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
12	9, 10, 11	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
13	8, 12	eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
14	3, 5, 13	3eqtr3d 2787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   + caddc 10858   − cmin 11188  -cneg 11189  ∗ccj 14788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-2 12019  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793

This theorem is referenced by:  sqabssub  14976  cjcn2  15290  mul4sqlem  16635  dvcjbr  25094  isosctrlem2  25950  atancj  26041  dipsubdi  29190  his2sub2  29434  sigarmf  44321