Theorem cjsub 14296

Description: Complex conjugate distributes over subtraction. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10622	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		cjadd 14288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
3	1, 2	sylan2 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
4		negsub 10671	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 6450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = (∗‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cjneg 14294	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
7	6	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
8	7	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)))
9		cjcl 14252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		cjcl 14252	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
11		negsub 10671	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
12	9, 10, 11	syl2an 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
13	8, 12	eqtrd 2814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
14	3, 5, 13	3eqtr3d 2822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   + caddc 10275   − cmin 10606  -cneg 10607  ∗ccj 14243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248

This theorem is referenced by:  sqabssub  14430  cjcn2  14738  mul4sqlem  16061  dvcjbr  24149  isosctrlem2  24997  atancj  25088  dipsubdi  28276  his2sub2  28522  sigarmf  41974