Theorem cjneg 14937

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))

Proof of Theorem cjneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 14900	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11083	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11010	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 14901	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 11035	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	neg2subd 11429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
9		reneg 14915	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
10		imneg 14923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
11	10	oveq2d 7333	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = (i · -(ℑ‘𝐴)))
12		mulneg2 11492	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	3, 5, 12	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
14	11, 13	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
15	9, 14	oveq12d 7335	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))))
16	2, 7	negsubdi2d 11428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
17	8, 15, 16	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
18		negcl 11301	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19		remim 14907	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
21		remim 14907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	negeqd 11295	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(∗‘𝐴) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  ℂcc 10949  ici 10953   · cmul 10956   − cmin 11285  -cneg 11286  ∗ccj 14886  ℜcre 14887  ℑcim 14888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-2 12116  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891

This theorem is referenced by:  cjsub  14939  cjnegi  14972  cjnegd  15001  absneg  15068