MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjneg 14710
Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjneg (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))

Proof of Theorem cjneg
StepHypRef Expression
1 recl 14673 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 10861 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3 ax-icn 10788 . . . . 5 i ∈ ℂ
4 imcl 14674 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 10861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 mulcl 10813 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
73, 5, 6sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
82, 7neg2subd 11206 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
9 reneg 14688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
10 imneg 14696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
1110oveq2d 7229 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = (i · -(ℑ‘𝐴)))
12 mulneg2 11269 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
133, 5, 12sylancr 590 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
1411, 13eqtrd 2777 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
159, 14oveq12d 7231 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))))
162, 7negsubdi2d 11205 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
178, 15, 163eqtr4d 2787 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
18 negcl 11078 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19 remim 14680 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
2018, 19syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
21 remim 14680 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
2221negeqd 11072 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → -(∗‘𝐴) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
2317, 20, 223eqtr4d 2787 1 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  ici 10731   · cmul 10734  cmin 11062  -cneg 11063  ccj 14659  cre 14660  cim 14661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664
This theorem is referenced by:  cjsub  14712  cjnegi  14745  cjnegd  14774  absneg  14841
  Copyright terms: Public domain W3C validator