Theorem cjneg 14710

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))

Proof of Theorem cjneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 14673	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 10861	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 10788	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 14674	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 10861	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 10813	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	neg2subd 11206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
9		reneg 14688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
10		imneg 14696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
11	10	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = (i · -(ℑ‘𝐴)))
12		mulneg2 11269	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	3, 5, 12	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
14	11, 13	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
15	9, 14	oveq12d 7231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))))
16	2, 7	negsubdi2d 11205	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
17	8, 15, 16	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
18		negcl 11078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19		remim 14680	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
21		remim 14680	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	negeqd 11072	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(∗‘𝐴) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ici 10731   · cmul 10734   − cmin 11062  -cneg 11063  ∗ccj 14659  ℜcre 14660  ℑcim 14661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664

This theorem is referenced by:  cjsub  14712  cjnegi  14745  cjnegd  14774  absneg  14841