Theorem cjneg 15152

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))

Proof of Theorem cjneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11217	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 15116	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11292	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 11242	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	neg2subd 11638	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
9		reneg 15130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
10		imneg 15138	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
11	10	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = (i · -(ℑ‘𝐴)))
12		mulneg2 11701	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	3, 5, 12	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
14	11, 13	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘-𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
15	9, 14	oveq12d 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))))
16	2, 7	negsubdi2d 11637	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
17	8, 15, 16	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
18		negcl 11510	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19		remim 15122	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = ((ℜ‘-𝐴) − (i · (ℑ‘-𝐴))))
21		remim 15122	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	negeqd 11504	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(∗‘𝐴) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ici 11160   · cmul 11163   − cmin 11494  -cneg 11495  ∗ccj 15101  ℜcre 15102  ℑcim 15103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-2 12327  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106

This theorem is referenced by:  cjsub  15154  cjnegi  15187  cjnegd  15216  absneg  15282