Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aomclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aomclem7 42515
Description: Lemma for dfac11 42517. (𝑅1β€˜π΄) is well-orderable. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem6.b 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem6.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
aomclem6.d 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
aomclem6.e 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
aomclem6.f 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
aomclem6.g 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
aomclem6.h 𝐻 = recs((𝑧 ∈ V ↦ 𝐺))
aomclem6.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
aomclem6.y (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
Assertion
Ref Expression
aomclem7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We (𝑅1β€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑧   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑧   𝐻,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑧   𝐺,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐹(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐻(𝑦)

Proof of Theorem aomclem7
StepHypRef Expression
1 aomclem6.b . . 3 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
2 aomclem6.c . . 3 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
3 aomclem6.d . . 3 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
4 aomclem6.e . . 3 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
5 aomclem6.f . . 3 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
6 aomclem6.g . . 3 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
7 aomclem6.h . . 3 𝐻 = recs((𝑧 ∈ V ↦ 𝐺))
8 aomclem6.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
9 aomclem6.y . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9aomclem6 42514 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π΄) We (𝑅1β€˜π΄))
11 fvex 6915 . . 3 (π»β€˜π΄) ∈ V
12 weeq1 5670 . . 3 (𝑏 = (π»β€˜π΄) β†’ (𝑏 We (𝑅1β€˜π΄) ↔ (π»β€˜π΄) We (𝑅1β€˜π΄)))
1311, 12spcev 3595 . 2 ((π»β€˜π΄) We (𝑅1β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We (𝑅1β€˜π΄))
1410, 13syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 We (𝑅1β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  π’« cpw 4606  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912  βˆ© cint 4953   class class class wbr 5152  {copab 5214   ↦ cmpt 5235   E cep 5585   We wwe 5636   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685  Oncon0 6374  suc csuc 6376  β€˜cfv 6553  recscrecs 8397  Fincfn 8970  supcsup 9471  π‘…1cr1 9793  rankcrnk 9794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-map 8853  df-en 8971  df-fin 8974  df-sup 9473  df-r1 9795  df-rank 9796
This theorem is referenced by:  aomclem8  42516
  Copyright terms: Public domain W3C validator