Theorem nghmplusg 24748

Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nghmplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nghmplusg	⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Proof of Theorem nghmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmrcl1 24740	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		nghmrcl2 24741	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
4	3	3ad2ant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Abel → 𝑇 ∈ Abel)
6		nghmghm 24742	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
7		nghmghm 24742	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8		nghmplusg.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑇)
9	8	ghmplusg 19844	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	5, 6, 7, 9	syl3an 1157	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	nghmcl 24735	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) ∈ ℝ)
14	11	nghmcl 24735	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
16	13, 15	readdcld 11293	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
17	11, 8	nmotri 24747	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≤ (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))
18	11	bddnghm 24734	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≤ (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
19	2, 4, 10, 16, 17, 18	syl32anc 1375	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688  ℝcr 11157   + caddc 11161   ≤ cle 11299  +_gcplusg 17266   GrpHom cghm 19206  Abelcabl 19779  NrmGrpcngp 24577   normOp cnmo 24713   NGHom cnghm 24714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ico 13384  df-0g 17456  df-topgen 17458  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-ghm 19207  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-xms 24317  df-ms 24318  df-nm 24582  df-ngp 24583  df-nmo 24716  df-nghm 24717

This theorem is referenced by:  nmhmplusg  24765