Theorem nghmplusg 24761

Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nghmplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nghmplusg	⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Proof of Theorem nghmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmrcl1 24753	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		nghmrcl2 24754	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
4	3	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Abel → 𝑇 ∈ Abel)
6		nghmghm 24755	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
7		nghmghm 24755	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8		nghmplusg.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑇)
9	8	ghmplusg 19864	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	5, 6, 7, 9	syl3an 1161	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	nghmcl 24748	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) ∈ ℝ)
14	11	nghmcl 24748	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
16	13, 15	readdcld 11290	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
17	11, 8	nmotri 24760	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≤ (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))
18	11	bddnghm 24747	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≤ (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
19	2, 4, 10, 16, 17, 18	syl32anc 1380	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℝcr 11154   + caddc 11158   ≤ cle 11296  +_gcplusg 17297   GrpHom cghm 19230  Abelcabl 19799  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726   NGHom cnghm 24727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730

This theorem is referenced by:  nmhmplusg  24778