MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nghmplusg 23885
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nghmplusg.p + = (+g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nghmplusg ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Proof of Theorem nghmplusg
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 23877 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
213ad2ant2 1132 . 2 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3 nghmrcl2 23878 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
433ad2ant2 1132 . 2 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
5 id 22 . . 3 (𝑇 ∈ Abel → 𝑇 ∈ Abel)
6 nghmghm 23879 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
7 nghmghm 23879 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8 nghmplusg.p . . . 4 + = (+g𝑇)
98ghmplusg 19428 . . 3 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
105, 6, 7, 9syl3an 1158 . 2 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11 eqid 2739 . . . . 5 (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
1211nghmcl 23872 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) ∈ ℝ)
13123ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) ∈ ℝ)
1411nghmcl 23872 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
15143ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
1613, 15readdcld 10988 . 2 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
1711, 8nmotri 23884 . 2 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝐹f + 𝐺)) ≤ (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))
1811bddnghm 23871 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝐹f + 𝐺)) ≤ (((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐹) + ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
192, 4, 10, 16, 17, 18syl32anc 1376 1 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109   class class class wbr 5078  cfv 6430  (class class class)co 7268  f cof 7522  cr 10854   + caddc 10858  cle 10994  +gcplusg 16943   GrpHom cghm 18812  Abelcabl 19368  NrmGrpcngp 23714   normOp cnmo 23850   NGHom cnghm 23851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ico 13067  df-0g 17133  df-topgen 17135  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-ghm 18813  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-xms 23454  df-ms 23455  df-nm 23719  df-ngp 23720  df-nmo 23853  df-nghm 23854
This theorem is referenced by:  nmhmplusg  23902
  Copyright terms: Public domain W3C validator