Theorem nmoge0 25046

Description: The operator norm of an operator is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoge0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem nmoge0

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13589	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
2	1	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑟)
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑟)
4	3	a1d 26	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟))
5	4	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟))
6		0xr 11360	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	nmogelb 25041	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟)))
12	6, 11	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (0 ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟)))
13	5, 12	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   · cmul 11209  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   ≤ cle 11348  [,)cico 13482  Basecbs 17393   GrpHom cghm 19433  normcnm 24901  NrmGrpcngp 24902   normOp cnmo 25030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-ico 13486  df-nmo 25033

This theorem is used by:  isnghm3  25050  bddnghm  25051  nmoi  25053  nmoix  25054  nmo0  25060  nmoco  25062  nmotri  25064  nmoid  25067  nghmcn  25070  nmoleub2lem  25441