Theorem nmoge0 24711

Description: The operator norm of an operator is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoge0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem nmoge0

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13405	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
2	1	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑟)
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑟)
4	3	a1d 25	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟))
5	4	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟))
6		0xr 11190	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	nmogelb 24706	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟)))
12	6, 11	mpan2 697	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (0 ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟)))
13	5, 12	mpbird 258	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   · cmul 11041  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178  [,)cico 13298  Basecbs 17177   GrpHom cghm 19185  normcnm 24566  NrmGrpcngp 24567   normOp cnmo 24695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-ico 13302  df-nmo 24698

This theorem is referenced by:  isnghm3  24715  bddnghm  24716  nmoi  24718  nmoix  24719  nmo0  24725  nmoco  24727  nmotri  24729  nmoid  24732  nghmcn  24735  nmoleub2lem  25106