Theorem nmoge0 24686

Description: The operator norm of an operator is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoge0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem nmoge0

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13407	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
2	1	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑟)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑟)
4	3	a1d 25	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟))
5	4	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟))
6		0xr 11192	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	nmogelb 24681	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟)))
12	6, 11	mpan2 692	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (0 ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) → 0 ≤ 𝑟)))
13	5, 12	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  [,)cico 13300  Basecbs 17179   GrpHom cghm 19187  normcnm 24541  NrmGrpcngp 24542   normOp cnmo 24670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-ico 13304  df-nmo 24673

This theorem is referenced by:  isnghm3  24690  bddnghm  24691  nmoi  24693  nmoix  24694  nmo0  24700  nmoco  24702  nmotri  24704  nmoid  24707  nghmcn  24710  nmoleub2lem  25081