Theorem blss2ps 24521

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blss2ps	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem blss2ps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simpl2 1209	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		simpl3 1210	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
4		simpr1 1211	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11247	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6		simpr2 1212	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11247	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
8	6, 4	resubcld 11630	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑆 − 𝑅) ∈ ℝ)
9		simpr3 1213	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))
10		psmetlecl 24433	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑆 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
11	1, 2, 3, 8, 9, 10	syl122anc 1402	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
12		rexsub 13250	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 − 𝑅))
13	6, 4, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 − 𝑅))
14	9, 13	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
15	1, 2, 3, 5, 7, 11, 14	xblss2ps 24519	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087   ≤ cle 11232   − cmin 11429  -_𝑒cxne 13125   +_𝑒 cxad 13126  PsMetcpsmet 21466  ballcbl 21469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-psmet 21474  df-bl 21477

This theorem is referenced by:  blssps  24542