MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blss2ps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blss2ps 23149
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blss2ps (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem blss2ps
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simpl2 1193 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑃𝑋)
3 simpl3 1194 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑄𝑋)
4 simpr1 1195 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
54rexrd 10762 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6 simpr2 1196 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
76rexrd 10762 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
86, 4resubcld 11139 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
9 simpr3 1197 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))
10 psmetlecl 23061 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ ((𝑆𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
111, 2, 3, 8, 9, 10syl122anc 1380 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
12 rexsub 12702 . . . 4 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆𝑅))
136, 4, 12syl2anc 587 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆𝑅))
149, 13breqtrrd 5055 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
151, 2, 3, 5, 7, 11, 14xblss2ps 23147 1 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wss 3841   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  cr 10607  cle 10747  cmin 10941  -𝑒cxne 12580   +𝑒 cxad 12581  PsMetcpsmet 20194  ballcbl 20197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-2 11772  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-psmet 20202  df-bl 20205
This theorem is referenced by:  blssps  23170
  Copyright terms: Public domain W3C validator