Theorem blss2ps 24727

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blss2ps	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem blss2ps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simpl2 1211	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		simpl3 1212	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
4		simpr1 1213	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11362	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6		simpr2 1214	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11362	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
8	6, 4	resubcld 11747	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑆 − 𝑅) ∈ ℝ)
9		simpr3 1215	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))
10		psmetlecl 24639	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑆 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
11	1, 2, 3, 8, 9, 10	syl122anc 1406	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
12		rexsub 13366	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑆 +e -e𝑅) = (𝑆 − 𝑅))
13	6, 4, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑆 +e -e𝑅) = (𝑆 − 𝑅))
14	9, 13	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +e -e𝑅))
15	1, 2, 3, 5, 7, 11, 14	xblss2ps 24725	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 − 𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202   ≤ cle 11347   − cmin 11544   -_ecxne 13241   +_e cxad 13242  PsMetcpsmet 21667  ballcbl 21670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-psmet 21675  df-bl 21678

This theorem is used by:  blssps  24748