Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme10 40237
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐷 represents s2. In their notation, we prove s s2 = s r. (Contributed by NM, 9-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme10.l = (le‘𝐾)
cdleme10.j = (join‘𝐾)
cdleme10.m = (meet‘𝐾)
cdleme10.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme10.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))

Proof of Theorem cdleme10
StepHypRef Expression
1 cdleme10.d . . 3 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
21oveq2i 7442 . 2 (𝑆 𝐷) = (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊))
3 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆𝐴)
5 simp2 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme10.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme10.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 39349 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 4, 9syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐻)
12 cdleme10.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
136, 12lhpbase 39981 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
153hllatd 39346 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
166, 8atbase 39271 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
186, 8atbase 39271 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
194, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
20 cdleme10.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
216, 20, 7latlej2 18507 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
2215, 17, 19, 21syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
23 cdleme10.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
246, 20, 7, 23, 8atmod3i1 39847 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑆 (𝑅 𝑆)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
253, 4, 10, 14, 22, 24syl131anc 1382 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
266, 7latjcom 18505 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
2715, 17, 19, 26syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
28 eqid 2735 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2920, 7, 28, 8, 12lhpjat2 40004 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
30293adant2 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
3127, 30oveq12d 7449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)) = ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)))
32 hlol 39343 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
333, 32syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
346, 7latjcl 18497 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
3515, 19, 17, 34syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
366, 23, 28olm11 39209 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3733, 35, 36syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3825, 31, 373eqtrd 2779 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = (𝑆 𝑅))
392, 38eqtrid 2787 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  1.cp1 18482  Latclat 18489  OLcol 39156  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971
This theorem is referenced by:  cdleme10tN  40241  cdleme20aN  40292  cdleme20g  40298
  Copyright terms: Public domain W3C validator