Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme10 39589
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐷 represents s2. In their notation, we prove s s2 = s r. (Contributed by NM, 9-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme10.l = (le‘𝐾)
cdleme10.j = (join‘𝐾)
cdleme10.m = (meet‘𝐾)
cdleme10.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme10.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))

Proof of Theorem cdleme10
StepHypRef Expression
1 cdleme10.d . . 3 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
21oveq2i 7423 . 2 (𝑆 𝐷) = (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊))
3 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆𝐴)
5 simp2 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme10.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme10.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 38701 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 4, 9syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐻)
12 cdleme10.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
136, 12lhpbase 39333 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
153hllatd 38698 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
166, 8atbase 38623 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
186, 8atbase 38623 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
194, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
20 cdleme10.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
216, 20, 7latlej2 18412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
2215, 17, 19, 21syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
23 cdleme10.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
246, 20, 7, 23, 8atmod3i1 39199 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑆 (𝑅 𝑆)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
253, 4, 10, 14, 22, 24syl131anc 1382 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
266, 7latjcom 18410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
2715, 17, 19, 26syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
28 eqid 2731 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2920, 7, 28, 8, 12lhpjat2 39356 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
30293adant2 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
3127, 30oveq12d 7430 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)) = ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)))
32 hlol 38695 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
333, 32syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
346, 7latjcl 18402 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
3515, 19, 17, 34syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
366, 23, 28olm11 38561 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3733, 35, 36syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3825, 31, 373eqtrd 2775 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = (𝑆 𝑅))
392, 38eqtrid 2783 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  1.cp1 18387  Latclat 18394  OLcol 38508  Atomscatm 38597  HLchlt 38684  LHypclh 39319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-psubsp 38838  df-pmap 38839  df-padd 39131  df-lhyp 39323
This theorem is referenced by:  cdleme10tN  39593  cdleme20aN  39644  cdleme20g  39650
  Copyright terms: Public domain W3C validator