Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme10.d |
. . 3
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
2 | 1 | oveq2i 7369 |
. 2
β’ (π β¨ π·) = (π β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) |
3 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
4 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
5 | | simp2 1138 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π
β π΄) |
6 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme10.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme10.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 3, 5, 4, 9 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π») |
12 | | cdleme10.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | 6, 12 | lhpbase 38507 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 11, 13 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 3 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
16 | 6, 8 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
17 | 16 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π
β (BaseβπΎ)) |
18 | 6, 8 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 4, 18 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | | cdleme10.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
21 | 6, 20, 7 | latlej2 18343 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ (π
β¨ π)) |
22 | 15, 17, 19, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ (π
β¨ π)) |
23 | | cdleme10.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
24 | 6, 20, 7, 23, 8 | atmod3i1 38373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π
β¨ π)) β (π β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
25 | 3, 4, 10, 14, 22, 24 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
26 | 6, 7 | latjcom 18341 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
27 | 15, 17, 19, 26 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
28 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
29 | 20, 7, 28, 8, 12 | lhpjat2 38530 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
30 | 29 | 3adant2 1132 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
31 | 27, 30 | oveq12d 7376 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π
) β§ (1.βπΎ))) |
32 | | hlol 37869 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
33 | 3, 32 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β OL) |
34 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
35 | 15, 19, 17, 34 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
36 | 6, 23, 28 | olm11 37735 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π
)) |
37 | 33, 35, 36 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π
) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π
)) |
38 | 25, 31, 37 | 3eqtrd 2777 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = (π β¨ π
)) |
39 | 2, 38 | eqtrid 2785 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π·) = (π β¨ π
)) |