Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme10 40256
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐷 represents s2. In their notation, we prove s s2 = s r. (Contributed by NM, 9-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme10.l = (le‘𝐾)
cdleme10.j = (join‘𝐾)
cdleme10.m = (meet‘𝐾)
cdleme10.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme10.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))

Proof of Theorem cdleme10
StepHypRef Expression
1 cdleme10.d . . 3 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
21oveq2i 7442 . 2 (𝑆 𝐷) = (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊))
3 simp1l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3l 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆𝐴)
5 simp2 1138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme10.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme10.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 39368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 4, 9syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐻)
12 cdleme10.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
136, 12lhpbase 40000 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
153hllatd 39365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
166, 8atbase 39290 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
17163ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
186, 8atbase 39290 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
194, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
20 cdleme10.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
216, 20, 7latlej2 18494 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
2215, 17, 19, 21syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
23 cdleme10.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
246, 20, 7, 23, 8atmod3i1 39866 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑆 (𝑅 𝑆)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
253, 4, 10, 14, 22, 24syl131anc 1385 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)))
266, 7latjcom 18492 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
2715, 17, 19, 26syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
28 eqid 2737 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2920, 7, 28, 8, 12lhpjat2 40023 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
30293adant2 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
3127, 30oveq12d 7449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) (𝑆 𝑊)) = ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)))
32 hlol 39362 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
333, 32syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
346, 7latjcl 18484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
3515, 19, 17, 34syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
366, 23, 28olm11 39228 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3733, 35, 36syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑆 𝑅) (1.‘𝐾)) = (𝑆 𝑅))
3825, 31, 373eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = (𝑆 𝑅))
392, 38eqtrid 2789 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝐷) = (𝑆 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  1.cp1 18469  Latclat 18476  OLcol 39175  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990
This theorem is referenced by:  cdleme10tN  40260  cdleme20aN  40311  cdleme20g  40317
  Copyright terms: Public domain W3C validator