Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1135 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
2 | | simp23 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp32l 1297 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) |
4 | | simp33l 1299 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π)) |
5 | | simp21 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
6 | | simp32r 1298 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) |
7 | | simp33r 1300 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π’ β€ (π β¨ π)) |
8 | | simp31r 1296 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π β€ (π β¨ π)) |
9 | 6, 7, 8 | 3jca 1127 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (Β¬ π‘ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) |
10 | | cdleme37.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdleme37.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdleme37.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdleme37.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
14 | | cdleme37.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | | cdleme37.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
16 | | cdleme37.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
17 | | cdleme37.d |
. . . 4
β’ π· = ((π’ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π’) β§ π))) |
18 | | eqid 2731 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π‘) β§ π) = ((π β¨ π‘) β§ π) |
19 | | eqid 2731 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π’) β§ π) = ((π β¨ π’) β§ π) |
20 | | eqid 2731 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
21 | | eqid 2731 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π’) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π’) β§ π))) |
22 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 | cdleme21k 39513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ (π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π‘ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π’) β§ π)))) |
23 | 1, 2, 3, 4, 5, 9, 22 | syl132anc 1387 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π’) β§ π)))) |
24 | | cdleme37.c |
. . 3
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π‘ β¨ π) β§ π))) |
25 | | simp11 1202 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
26 | | simp12l 1285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
27 | | simp13l 1287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
28 | 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdleme4 39413 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
29 | 25, 26, 27, 2, 8, 28 | syl131anc 1382 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
30 | | cdleme37.v |
. . . . . . 7
β’ π = ((π‘ β¨ πΈ) β§ π) |
31 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | cdleme2 39403 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π))) β ((π‘ β¨ πΈ) β§ π) = π) |
32 | 25, 26, 27, 3, 31 | syl13anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((π‘ β¨ πΈ) β§ π) = π) |
33 | 30, 32 | eqtrid 2783 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π = π) |
34 | 33 | oveq2d 7428 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
35 | 29, 34 | eqtr4d 2774 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
36 | | simp11l 1283 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β πΎ β HL) |
37 | | simp23l 1293 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
38 | 3 | simpld 494 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π‘ β π΄) |
39 | 11, 13 | hlatjcom 38542 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π‘ β π΄) β (π β¨ π‘) = (π‘ β¨ π)) |
40 | 36, 37, 38, 39 | syl3anc 1370 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π‘) = (π‘ β¨ π)) |
41 | 40 | oveq1d 7427 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π‘) β§ π) = ((π‘ β¨ π) β§ π)) |
42 | 41 | oveq2d 7428 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π)) = (πΈ β¨ ((π‘ β¨ π) β§ π))) |
43 | 35, 42 | oveq12d 7430 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π‘ β¨ π) β§ π)))) |
44 | 24, 43 | eqtr4id 2790 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β πΆ = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π)))) |
45 | | cdleme37.g |
. . 3
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π’ β¨ π) β§ π))) |
46 | | cdleme37.x |
. . . . . . 7
β’ π = ((π’ β¨ π·) β§ π) |
47 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 | cdleme2 39403 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π))) β ((π’ β¨ π·) β§ π) = π) |
48 | 25, 26, 27, 4, 47 | syl13anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((π’ β¨ π·) β§ π) = π) |
49 | 46, 48 | eqtrid 2783 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π = π) |
50 | 49 | oveq2d 7428 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
51 | 29, 50 | eqtr4d 2774 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
52 | 4 | simpld 494 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β π’ β π΄) |
53 | 11, 13 | hlatjcom 38542 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π’ β π΄) β (π β¨ π’) = (π’ β¨ π)) |
54 | 36, 37, 52, 53 | syl3anc 1370 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π’) = (π’ β¨ π)) |
55 | 54 | oveq1d 7427 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π’) β§ π) = ((π’ β¨ π) β§ π)) |
56 | 55 | oveq2d 7428 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β (π· β¨ ((π β¨ π’) β§ π)) = (π· β¨ ((π’ β¨ π) β§ π))) |
57 | 51, 56 | oveq12d 7430 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π’) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π’ β¨ π) β§ π)))) |
58 | 45, 57 | eqtr4id 2790 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β πΊ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π’) β§ π)))) |
59 | 23, 44, 58 | 3eqtr4d 2781 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ ((π’ β π΄ β§ Β¬ π’ β€ π) β§ Β¬ π’ β€ (π β¨ π)))) β πΆ = πΊ) |