Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme37m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme37m 39637
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on 𝑃 ∨ 𝑄 line. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 13-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme37.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme37.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme37.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme37.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme37.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme37.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme37.e 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme37.d 𝐷 = ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))
cdleme37.v 𝑉 = ((𝑑 ∨ 𝐸) ∧ π‘Š)
cdleme37.x 𝑋 = ((𝑒 ∨ 𝐷) ∧ π‘Š)
cdleme37.c 𝐢 = ((𝑆 ∨ 𝑉) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme37.g 𝐺 = ((𝑆 ∨ 𝑋) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme37m ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐢 = 𝐺)

Proof of Theorem cdleme37m
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
2 simp23 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
3 simp32l 1297 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
4 simp33l 1299 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š))
5 simp21 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
6 simp32r 1298 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
7 simp33r 1300 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
8 simp31r 1296 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
96, 7, 83jca 1127 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
10 cdleme37.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 cdleme37.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 cdleme37.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 cdleme37.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
14 cdleme37.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
15 cdleme37.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
16 cdleme37.e . . . 4 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
17 cdleme37.d . . . 4 𝐷 = ((𝑒 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))
18 eqid 2731 . . . 4 ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)
19 eqid 2731 . . . 4 ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)
20 eqid 2731 . . . 4 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
21 eqid 2731 . . . 4 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)))
2210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme21k 39513 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š))))
231, 2, 3, 4, 5, 9, 22syl132anc 1387 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š))))
24 cdleme37.c . . 3 𝐢 = ((𝑆 ∨ 𝑉) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
25 simp11 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
26 simp12l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
27 simp13l 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2810, 11, 12, 13, 14, 15cdleme4 39413 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
2925, 26, 27, 2, 8, 28syl131anc 1382 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
30 cdleme37.v . . . . . . 7 𝑉 = ((𝑑 ∨ 𝐸) ∧ π‘Š)
3110, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme2 39403 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑑 ∨ 𝐸) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
3225, 26, 27, 3, 31syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑑 ∨ 𝐸) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
3330, 32eqtrid 2783 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑉 = π‘ˆ)
3433oveq2d 7428 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑉) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
3529, 34eqtr4d 2774 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑆 ∨ 𝑉))
36 simp11l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
37 simp23l 1293 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
383simpld 494 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
3911, 13hlatjcom 38542 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑑) = (𝑑 ∨ 𝑆))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑑) = (𝑑 ∨ 𝑆))
4140oveq1d 7427 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))
4241oveq2d 7428 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐸 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)) = (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
4335, 42oveq12d 7430 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑆 ∨ 𝑉) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
4424, 43eqtr4id 2790 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐢 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
45 cdleme37.g . . 3 𝐺 = ((𝑆 ∨ 𝑋) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
46 cdleme37.x . . . . . . 7 𝑋 = ((𝑒 ∨ 𝐷) ∧ π‘Š)
4710, 11, 12, 13, 14, 15, 17cdleme2 39403 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑒 ∨ 𝐷) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
4825, 26, 27, 4, 47syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑒 ∨ 𝐷) ∧ π‘Š) = π‘ˆ)
4946, 48eqtrid 2783 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑋 = π‘ˆ)
5049oveq2d 7428 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑋) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
5129, 50eqtr4d 2774 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑆 ∨ 𝑋))
524simpld 494 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
5311, 13hlatjcom 38542 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑒) = (𝑒 ∨ 𝑆))
5436, 37, 52, 53syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑒) = (𝑒 ∨ 𝑆))
5554oveq1d 7427 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š) = ((𝑒 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))
5655oveq2d 7428 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐷 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š)) = (𝐷 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
5751, 56oveq12d 7430 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š))) = ((𝑆 ∨ 𝑋) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
5845, 57eqtr4id 2790 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑒) ∧ π‘Š))))
5923, 44, 583eqtr4d 2781 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐢 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163
This theorem is referenced by:  cdleme38m  39638
  Copyright terms: Public domain W3C validator