Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme26f 38855
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115. 𝐹, 𝑁 represent f(t), ft(s) respectively. If t ≀ t ∨ v, then ft(s) ≀ f(t) ∨ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme26.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme26.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme26.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme26.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme26.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme26f.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme26f.f 𝐹 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme26f.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme26f.i 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cdleme26f ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐼 ≀ (𝐹 ∨ 𝑉))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝐴   𝑑,𝐡,𝑒   𝑑,𝐻   𝑑, ∨ ,𝑒   𝑑,𝐾   𝑑, ≀ ,𝑒   𝑑, ∧ ,𝑒   𝑒,𝑁   𝑑,𝑃,𝑒   𝑑,𝑄,𝑒   𝑑,𝑆,𝑒   𝑑,π‘ˆ,𝑒   𝑑,π‘Š,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒,𝑑)   𝐻(𝑒)   𝐼(𝑒,𝑑)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑒,𝑑)

Proof of Theorem cdleme26f
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp22 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp23l 1295 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
5 simp23r 1296 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)
6 simp12l 1287 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
7 simp12r 1288 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
8 cdleme26.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 cdleme26.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme26.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme26.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
12 cdleme26.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
13 cdleme26.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
14 cdleme26f.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
15 cdleme26f.f . . . . 5 𝐹 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
16 cdleme26f.n . . . . 5 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
17 cdleme26f.i . . . . 5 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme25cl 38849 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18syl322anc 1399 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
20 simp13l 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
21 simp13r 1290 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)
22 simp31 1210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
238fvexi 6861 . . . 4 𝐡 ∈ V
2423, 17riotasv 37450 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 = 𝑁)
2519, 20, 21, 22, 24syl112anc 1375 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐼 = 𝑁)
26 simp23 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
27 simp33 1212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
28 simp32 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)))
299, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme22f 38838 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑁 ≀ (𝐹 ∨ 𝑉))
301, 2, 3, 26, 20, 27, 28, 29syl331anc 1396 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑁 ≀ (𝐹 ∨ 𝑉))
3125, 30eqbrtrd 5132 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑑 ∧ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐼 ≀ (𝐹 ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  β„©crio 7317  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  cdleme27a  38859
  Copyright terms: Public domain W3C validator