Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp23l 1295 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β π β π΄) |
5 | | simp23r 1296 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β Β¬ π β€ π) |
6 | | simp12l 1287 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β π β π) |
7 | | simp12r 1288 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
8 | | cdleme26.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
9 | | cdleme26.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme26.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme26.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdleme26.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdleme26.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme26f.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | | cdleme26f.f |
. . . . 5
β’ πΉ = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
16 | | cdleme26f.n |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
17 | | cdleme26f.i |
. . . . 5
β’ πΌ = (β©π’ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π’ = π)) |
18 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 | cdleme25cl 38849 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β πΌ β π΅) |
19 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18 | syl322anc 1399 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β πΌ β π΅) |
20 | | simp13l 1289 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β π‘ β π΄) |
21 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) |
22 | 8 | fvexi 6861 |
. . . 4
β’ π΅ β V |
23 | 22, 17 | riotasv 37450 |
. . 3
β’ ((πΌ β π΅ β§ π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) β πΌ = π) |
24 | 19, 20, 21, 23 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β πΌ = π) |
25 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
26 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β (π β π΄ β§ π β€ π)) |
27 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π))) |
28 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | cdleme22f 38838 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π))) β π β€ (πΉ β¨ π)) |
29 | 1, 2, 3, 25, 20, 26, 27, 28 | syl331anc 1396 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β π β€ (πΉ β¨ π)) |
30 | 24, 29 | eqbrtrd 5132 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β§ (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β πΌ β€ (πΉ β¨ π)) |