Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg1ci2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg1ci2 36656
Description: Any function of the form of the function constructed for cdleme 36630 is a translation. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 18-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg1ci2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)) → 𝐹𝑇)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Proof of Theorem cdlemg1ci2
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄))
2 cdlemg1c.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 cdlemg1c.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemg1c.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemg1c.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2825 . . . 4 (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
72, 3, 4, 5, 6ltrniotacl 36649 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) ∈ 𝑇)
87adantr 474 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) ∈ 𝑇)
91, 8eqeltrd 2906 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)) → 𝐹𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  cfv 6127  crio 6870  lecple 16319  Atomscatm 35333  HLchlt 35420  LHypclh 36054  LTrncltrn 36171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-riotaBAD 35023
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-undef 7669  df-map 8129  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569  df-lvols 35570  df-lines 35571  df-psubsp 35573  df-pmap 35574  df-padd 35866  df-lhyp 36058  df-laut 36059  df-ldil 36174  df-ltrn 36175  df-trl 36229
This theorem is referenced by:  cdlemg1cN  36657  cdlemg1cex  36658
  Copyright terms: Public domain W3C validator