Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg1cN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg1cN 37902
 Description: Any translation belongs to the set of functions constructed for cdleme 37875. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 18-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝐹𝑇𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Proof of Theorem cdlemg1cN
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpll2 1210 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simpr 488 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
4 cdlemg1c.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
5 cdlemg1c.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemg1c.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemg1c.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
84, 5, 6, 7cdlemeiota 37900 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)))
91, 2, 3, 8syl3anc 1368 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)))
10 simplr 768 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
1110eqeq2d 2809 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ (𝑓𝑃) = 𝑄))
1211riotabidv 7096 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄))
139, 12eqtrd 2833 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄))
144, 5, 6, 7cdlemg1ci2 37901 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)) → 𝐹𝑇)
1514adantlr 714 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)) → 𝐹𝑇)
1613, 15impbida 800 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝐹𝑇𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  ℩crio 7093  lecple 16567  Atomscatm 36578  HLchlt 36665  LHypclh 37299  LTrncltrn 37416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-riotaBAD 36268 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-undef 7925  df-map 8394  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-llines 36813  df-lplanes 36814  df-lvols 36815  df-lines 36816  df-psubsp 36818  df-pmap 36819  df-padd 37111  df-lhyp 37303  df-laut 37304  df-ldil 37419  df-ltrn 37420  df-trl 37474 This theorem is referenced by:  cdlemg2cN  37904
 Copyright terms: Public domain W3C validator