Theorem cdlemeiota 41049

Description: A translation is uniquely determined by one of its values. (Contributed by NM, 18-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg1c.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemeiota	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Proof of Theorem cdlemeiota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
2		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		cdlemg1c.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cdlemg1c.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdlemg1c.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdlemg1c.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	ltrnel 40603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
8	7	3com23 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
9	3, 4, 5, 6	cdleme 41024	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
10	8, 9	syld3an3 1412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
11		fveq1 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
12	11	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)))
13	12	riota2 7344	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃) ↔ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) = 𝐹))
14	2, 10, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃) ↔ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) = 𝐹))
15	1, 14	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) = 𝐹)
16	15	eqcomd 2743	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3341   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  ℩crio 7318  lecple 17222  Atomscatm 39727  HLchlt 39814  LHypclh 40448  LTrncltrn 40565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-riotaBAD 39417

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-undef 8218  df-map 8770  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39640  df-ol 39642  df-oml 39643  df-covers 39730  df-ats 39731  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815  df-llines 39962  df-lplanes 39963  df-lvols 39964  df-lines 39965  df-psubsp 39967  df-pmap 39968  df-padd 40260  df-lhyp 40452  df-laut 40453  df-ldil 40568  df-ltrn 40569  df-trl 40623

This theorem is referenced by:  cdlemg1cN  41051  cdlemg1cex  41052  cdlemm10N  41582