Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme 37896
 Description: Lemma E in [Crawley] p. 113. If p,q are atoms not under hyperplane w, then there is a unique translation f such that f(p) = q. (Contributed by NM, 11-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme.l = (le‘𝐾)
cdleme.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑓,𝐻

Proof of Theorem cdleme
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleme.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 cdleme.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdleme.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdleme.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdleme50ex 37895 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
6 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp2l 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → 𝑓𝑇)
8 simp2r 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → 𝑧𝑇)
9 simp12 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
10 eqtr3 2820 . . . . . 6 (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃))
11103ad2ant3 1132 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃))
121, 2, 3, 4cdlemd 37543 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃)) → 𝑓 = 𝑧)
136, 7, 8, 9, 11, 12syl311anc 1381 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → 𝑓 = 𝑧)
14133exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((𝑓𝑇𝑧𝑇) → (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧)))
1514ralrimivv 3155 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∀𝑓𝑇𝑧𝑇 (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧))
16 fveq1 6649 . . . 4 (𝑓 = 𝑧 → (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃))
1716eqeq1d 2800 . . 3 (𝑓 = 𝑧 → ((𝑓𝑃) = 𝑄 ↔ (𝑧𝑃) = 𝑄))
1817reu4 3670 . 2 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 ↔ (∃𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ ∀𝑓𝑇𝑧𝑇 (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧)))
195, 15, 18sylanbrc 586 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108   class class class wbr 5031  ‘cfv 6327  lecple 16571  Atomscatm 36599  HLchlt 36686  LHypclh 37320  LTrncltrn 37437 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-riotaBAD 36289 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7929  df-map 8398  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-oposet 36512  df-ol 36514  df-oml 36515  df-covers 36602  df-ats 36603  df-atl 36634  df-cvlat 36658  df-hlat 36687  df-llines 36834  df-lplanes 36835  df-lvols 36836  df-lines 36837  df-psubsp 36839  df-pmap 36840  df-padd 37132  df-lhyp 37324  df-laut 37325  df-ldil 37440  df-ltrn 37441  df-trl 37495 This theorem is referenced by:  ltrniotaval  37917  cdlemeiota  37921  cdlemksv2  38183  cdlemkuv2  38203
 Copyright terms: Public domain W3C validator