Theorem cdleme 38574

Description: Lemma E in [Crawley] p. 113. If p,q are atoms not under hyperplane w, then there is a unique translation f such that f(p) = q. (Contributed by NM, 11-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑓,𝐻

Proof of Theorem cdleme

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdleme.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		cdleme.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdleme.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdleme50ex 38573	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
6		simp11 1202	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simp2l 1198	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
8		simp2r 1199	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
9		simp12 1203	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		eqtr3 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄) → (𝑓‘𝑃) = (𝑧‘𝑃))
11	10	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄)) → (𝑓‘𝑃) = (𝑧‘𝑃))
12	1, 2, 3, 4	cdlemd 38221	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑓‘𝑃) = (𝑧‘𝑃)) → 𝑓 = 𝑧)
13	6, 7, 8, 9, 11, 12	syl311anc 1383	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄)) → 𝑓 = 𝑧)
14	13	3exp 1118	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → (((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧)))
15	14	ralrimivv 3122	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑧 ∈ 𝑇 (((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧))
16		fveq1 6773	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑧 → (𝑓‘𝑃) = (𝑧‘𝑃))
17	16	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ↔ (𝑧‘𝑃) = 𝑄))
18	17	reu4 3666	. 2 ⊢ (∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 ↔ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ∀𝑧 ∈ 𝑇 (((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧‘𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧)))
19	5, 15, 18	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  ltrniotaval  38595  cdlemeiota  38599  cdlemksv2  38861  cdlemkuv2  38881