Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme 38311
Description: Lemma E in [Crawley] p. 113. If p,q are atoms not under hyperplane w, then there is a unique translation f such that f(p) = q. (Contributed by NM, 11-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme.l = (le‘𝐾)
cdleme.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑓,𝐻

Proof of Theorem cdleme
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleme.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 cdleme.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdleme.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdleme.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdleme50ex 38310 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
6 simp11 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp2l 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → 𝑓𝑇)
8 simp2r 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → 𝑧𝑇)
9 simp12 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
10 eqtr3 2763 . . . . . 6 (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃))
11103ad2ant3 1137 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃))
121, 2, 3, 4cdlemd 37958 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃)) → 𝑓 = 𝑧)
136, 7, 8, 9, 11, 12syl311anc 1386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑓𝑇𝑧𝑇) ∧ ((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄)) → 𝑓 = 𝑧)
14133exp 1121 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((𝑓𝑇𝑧𝑇) → (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧)))
1514ralrimivv 3111 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∀𝑓𝑇𝑧𝑇 (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧))
16 fveq1 6716 . . . 4 (𝑓 = 𝑧 → (𝑓𝑃) = (𝑧𝑃))
1716eqeq1d 2739 . . 3 (𝑓 = 𝑧 → ((𝑓𝑃) = 𝑄 ↔ (𝑧𝑃) = 𝑄))
1817reu4 3644 . 2 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 ↔ (∃𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ ∀𝑓𝑇𝑧𝑇 (((𝑓𝑃) = 𝑄 ∧ (𝑧𝑃) = 𝑄) → 𝑓 = 𝑧)))
195, 15, 18sylanbrc 586 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063   class class class wbr 5053  cfv 6380  lecple 16809  Atomscatm 37014  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-riotaBAD 36704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910
This theorem is referenced by:  ltrniotaval  38332  cdlemeiota  38336  cdlemksv2  38598  cdlemkuv2  38618
  Copyright terms: Public domain W3C validator