Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp13 1206 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
5 | | simp22l 1293 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΉ β π) |
6 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π£ β (π
βπΉ)) |
7 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
13 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemg31.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemg31b0a 39187 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 15 | syl132anc 1389 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |
17 | | simp22r 1294 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΊ β π) |
18 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π£ β (π
βπΊ)) |
19 | | cdlemg33.o |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΊ))) |
20 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19 | cdlemg31b0a 39187 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΊ β π β§ π£ β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |
21 | 1, 2, 3, 4, 17, 18, 20 | syl132anc 1389 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |
22 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
23 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
24 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β π΄ β§ π β π΄)) |
25 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
26 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π) |
27 | | simpl31 1255 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π£ β (π
βπΉ)) |
28 | | simpl33 1257 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
29 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19 | cdlemg33b 39199 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
30 | 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 | syl133anc 1394 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
31 | 30 | ex 414 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))))) |
32 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
33 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
34 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) |
35 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
36 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β π β π) |
37 | | simpl32 1256 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β π£ β (π
βπΊ)) |
38 | | simpl33 1257 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
39 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19 | cdlemg33d 39201 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
40 | 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 | syl133anc 1394 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π β π΄)) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
41 | 40 | ex 414 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π = (0.βπΎ) β§ π β π΄) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))))) |
42 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
43 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
44 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) |
45 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
46 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β π β π) |
47 | | simpl31 1255 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β π£ β (π
βπΉ)) |
48 | | simpl33 1257 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
49 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19 | cdlemg33c 39200 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
50 | 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 | syl133anc 1394 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π β π΄ β§ π = (0.βπΎ))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
51 | 50 | ex 414 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β π΄ β§ π = (0.βπΎ)) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))))) |
52 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
53 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
54 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) |
55 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
56 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β π β π) |
57 | | simpl31 1255 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β π£ β (π
βπΉ)) |
58 | | simpl33 1257 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
59 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19 | cdlemg33e 39202 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
60 | 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 | syl133anc 1394 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ (π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
61 | 60 | ex 414 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π = (0.βπΎ) β§ π = (0.βπΎ)) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))))) |
62 | 31, 41, 51, 61 | ccased 1038 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (((π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ)) β§ (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))))) |
63 | 16, 21, 62 | mp2and 698 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |