Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk3.x |
. 2
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ))) |
2 | | cdlemk3.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdlemk3.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | cdlemk3.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | cdlemk3.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
6 | | cdlemk3.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemk3.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemk3.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk3.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
10 | | cdlemk3.s |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
11 | | cdlemk3.u1 |
. . . . 5
β’ π = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
12 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | cdlemk28-3 39417 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β βπ§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ))) |
13 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | 2, 7, 8, 9 | cdlemftr2 39075 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
15 | | reusv1 5353 |
. . . . 5
β’
(βπ β
π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ)) β βπ§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ)))) |
16 | 13, 14, 15 | 3syl 18 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ)) β βπ§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ)))) |
17 | 12, 16 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ))) |
18 | | riotacl 7332 |
. . 3
β’
(β!π§ β
π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ)) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ))) β π) |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (πππΊ))) β π) |
20 | 1, 19 | eqeltrid 2838 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β π β π) |